有限单元法发展史概述

最美时光

　　有限单元法最初是在二十世纪五十年代作为处理固体力学问题的方法出的，在1945～1955 这十年间发展起来的结构分析矩阵(位移)法可以说是它的雏形。“有限单元法”这一名称是克拉夫(Clough)在1960 年首先引用的，第一个成功的尝试是对于飞机结构的分析。1956 年Turner、CloUGh 把刚架位移法(直接刚度法)应用到弹性力学平面应力问题中去，他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”。与矩阵法相同，每一单元的特性用单元刚度矩阵来表示;所不同的是，矩阵法分析中每一结构构件的力与位移之间的关系是精确推导出来的，而有限单元法的解则是利用每一单元中近似的位移函数。因此，有限单元法是一种近似的数值方法。初期的有限(单)元法是建立在虚功原理的基础上。1963～1964 年Besseling、Melosh 和Jones 等人证明了有限元法是基于变分原理的里兹(Ritz)法的另一种形式，确认了有限元法是处理连续介质问题的一种普遍方法，扩大了有限元法的应用范围。
　　从20 世纪60 年代后期开始，进一步利用加权余量法，主要是伽辽金(Galerkin)法，来确定单元特性和建立有限元求解方程，使之应用于已知问题的微分方程和边界条件、但变分的泛函尚未找到或者根本不存在的情况，进一步扩大了有限元法的应用领域。1967 年首次出版有限元专着《结构与连续力学的有限元法》，由Zienkiewicz与Y.K.Cheung(张佑启)合作。当时关于有限元法的研究论文几乎按指数规律增加，公开发表近8000 篇，内部报告就更多。该书成为名著后，更名为《有限元法》，国内出版过第三版的中译本，1990 年出版过第四版。Zienkiewicz 认为，难以确定有限元法的起源及发明它的准确时间。把复杂结构的计算问题转化为简单单元的分析和集合问题，许多经典的数学近似方法以及工程中所用的各直接近似方法都属于这一范畴。有限单元这术语的出现，意味着直接应用可用于离散系统的标准研究方法。在概念上，使我们对方法的理解得到改善;在计算上，可对各种问题应用统一的方法，并研制出标准的计算程序。四十年来，有限单元法蓬勃发展，不仅已经成为结构分析中必不可少的工具，而且成为现象分析的一种手段。其应用已由弹性力学平面问题扩展到空间问题、板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题、动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性、粘弹性、粘塑性和复合材料等，从固体力学扩展到流体力学、渗流与固结理论、热传导与热应力问题、磁场问题以及建筑声学与噪音问题。不仅涉及稳态场问题，还涵盖材料非线性、几何非线性、时间维问题和断裂力学等。已出现多种新单元(先后有等参元、高次元、不协调元、拟协调元、杂交元、样条元、边界元、罚单元，还有半解析的有限条等不同单元)和求解方法(如半带宽与变带宽消去法、超矩阵法、波前法、子结构法、子空间迭代法等)。能解决各种复杂耦合问题的软件和软件系统不断涌现。对网格自动剖分和网格自适应过程的研究，大大加强了有限元法的解题能力，使有限单元法逐渐趋于成熟。有限元法作为一种离散化的数值解法，也已成为应用数学的一个新的分支。
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