NURBS 基本規則

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NURBS 基本規則
NURBS是Non-Uniform Rational B-Splines（非均勻有理貝式雲型線也有翻成"那不勒斯"）的縮寫。NURBS可以表現出3-D的幾何物體。
% M( ^2 [) D6 S: D* r8 K, G' ]NURBS之所以能夠成為主要的電腦製作模形方法，有五個重要原因：
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: K+ R" b- `# w- g% Q0 u: ~有許多大型的知名企業，都使用NURBS作為主要的幾何模型交換方式。這代表了它們的客戶，都可以使用這種方式來轉換他們的幾何模型，於各種不同的建構模型軟件，算圖軟件，動畫軟件和工程分析軟件之間。它們可以使用這樣的方式存儲幾何模型資料，而且從現在起至少二十年內都可用。
! h/ H$ n# Z3 p) i! I& dNURBS擁有精確性和眾所周知的定義。在各個大專院校裡，無論在數學，電腦科學領域裡，NURBS幾何學都是必修的學問，是很重要的數學學科。這代表了大部分的電腦軟件業者，工程小組，工業設計公司和動畫公司；在需要撰寫自行研法的軟件時，都可以找到適當的程序設計師，來撰寫使用以NURBS為主要幾何架構的軟件。
; o% f$ m* K; r$ K& g( {NURBS可以很精確的描繪出大部分的幾何模型，如：線段，圓，橢圓，球體，環形和像車體和人體的複雜自由曲面模形。
- X2 n. w- v( F; }3 h% R在描繪幾何模型時，以NURBS方式所描繪出的幾何信息比其它的描繪方式，文件要小許多。
關於NURBS曲線的細節，以及為何是電腦繪圖工具中最有效和準確性最高的原因，如下所列：
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何謂NURBS幾何學
這個問題有很多種回答的方式。如果你對於閱讀數學方程式不感吃力的話，那你在RHINO的網站中相關連接可得到更多詳細資料。

) E9 V6 H( R, L! ^RHINO使用NURBS來呈現曲線和曲面。NURBS曲線和曲面的行為模式是很相近的，而且有很多共同的專有名稱。曲線是較容易描述，理解的，我們將會詳細說明。RHINO的曲面工具很類似我們接下來所提及的曲線工具：
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一條NURBS曲線中有四個重要的定義項目：degree值,Control points控制點，knots節點和evaluation rule評定的規則。

: Y+ `* E6 {' w" Ldegree 值
degree的值是一個正整數。
) F% V# p0 [+ [+ c  E6 Z2 |+ U這個值通常為1，2，3或5。RHINO的線段和復合線段的degree的值為1。圓degree的值為2，而大部分RHINO的自由曲線的degree的值為3或5。RHINO所使用的NURBS曲線的degree的值可以設置從1到32。而通常我們把這些degree的值，稱之為Linear，Quadratic, Cubic， Quintic。 Linear代表著degree的值為1，Quadratic代表著degree的值為2， Cubic代表著degree的值為3 ，Quintic代表著degree的值為5。
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你可以參閱參考文獻裡關於NURBS曲線的order部分。NURBS曲線的order是個正整數，且等於degree+1。所以degree的

/ d& z7 r  R8 F0 h) B. K1 \0 M值等於order –1。
在改變NURBS曲線的degree的值的過程中，你有可能只增加degree的值而不影響到NURBS曲線的形狀。但是，你無法在減小degree的值的過程中不影響到NURBS曲線的形狀。RHINO所提供的工具能讓你自由地設定NURBS曲線的degree的值，從1到32。
: q* @* F5 e& Z* A! ]. m; t
, I4 y0 b0 C# _1 p/ D3 KControl points 控制點
) o* h( Y0 n9 D7 u3 BControl points最少是degree+1個點。
移動控制點，是改變NURBS曲線最簡單的方法。RHINO提供了很多方法來移動控制點。如果需要有較大彈性的自由曲面，你可以只使用鼠標來快速的移動和改變控制點，以繪製你的模型。而相對於準確性要求較高的曲線，RHINO則提供了其它精確性高的工具，以供使用。
- j6 I' q/ R; X* k6 }0 TControl points有一個相關的值---Weight。除了少數例子外，weight的值通常是正數。Control points是一串至少是degree+1個點，此曲線狀況稱之為non-rational；而如果weight的值並不完全相同時，此曲線狀況稱之為rational。

1 a4 p& ]4 k( H7 KNURBS曲線中的R為rational的縮寫。但這只是代表這條曲線有可能是rational。在範例裡，有大部分的NURBS曲線都是non-rational。只有一些NURBS曲線是rational，如：圓，橢圓等明顯的案例。RHINO提供一些工具來檢測和更改Control points的weight值。
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: r. Z; `  O) |% H7 \knots節點
knots節點是一串degree+N-1的數字，其中N為Control points的數字編號。有時我稱這串數字為knot vector。在這裡的vector並不是指3-D向量或方向性。
這串節點數字必須符合一些技術上的條件。這裡列出了幾項符合knot技術上所需要的條件值。基本的條件為：這連串的數字必須相同，或順序越後的數字越大，而且如果數字重複了，重複的次數不可以超過degree的值。例如一degree的值為3的NURBS曲線，其Control points的數量為11，而這串數字為0，0，0，1，2，2，2，3，7，7，9，9，9，符合knot數字串的要求。但假如knot數字值為0，0，0，1，2，2，2，2，7，7，9，9，9，這就不符合技術上所需要的條件值了。因為有4 個2，已超出了degree的值3的數量。

6 k8 v" P7 H, L3 G  C相同的knot數字值的數量，我們稱之為multiplicity.在上一個範例中，符合了knot技術上所需要的條件值，其knot值為0的有multiplicity 3，其knot值為1的有multiplicity 1，其knot值為2的有multiplicity 3，其knot值為7的有multiplicity 2，其knot值為9的有multiplicity 3。當knot的multiplicity值與其degree的值一樣時，我們將之稱為Full – multiplicity。在上一個範例中，knot的值為0，2，9，都是Full – multiplicity。當knot的multiplicity值為1時，我們將之稱為Simple – multiplicity。在上一個範例中，knot的值為1，3，都是Simple – multiplicity。
假如一曲線其knot的值開始於Full – multiplicity，然後接著Simple – multiplicity，結尾又是Full –
- _9 _8 {, s. N  N/ @; ymultiplicity，而且其值之間的間隔相同，那這個knot稱之為uniform。例如一NURBS曲線，其degree的值為3， Control points的數量為7，knot的值為0，0，0，1，2，3，4，4，4，那此曲線就可稱之為uniform曲線。而假如knot的值為0，0，0，1，2，5，6，6，6，那此曲線就不是uniform曲線，我們稱之為non-uniform。NURBS裡的NU字母就是non-uniform的縮寫。表示knots節點在NURBS曲線中是允許non-uniform的情形。

# W7 L, ]5 @# M8 b$ Q$ ?2 \相同的knot數字值的數量，如果集中在值的中央部位，那這一NURBS曲線是較不圓滑的。例如有一曲線其knot值的中央有一Full – multiplicity，那就是表示此NURBS曲線會被彎成一銳角。因此，有些人會想要以增加或減少knots的數量，然後調整Control points使得曲線變得更加平順或更銳利。RHINO提供了工具讓你自由的增加或減少knots的數量。之前有提到過knots的值為degree+N-1，其N為Control points的值。所以當你增加knots的數量，同時也增加了Control points的數量；減少knots的數量，同時也減少了Control points的數量。knots的數量可以被增加，而不會影響到NURBS曲線的外形。而在一般情況下，減少數量會影響到NURBS曲線的外形。RHINO提供了一個減少knots的進階工具，當你刪除Control points時，它會自動調整knots的位置到最適當的位置。
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Knots和control points
2 O' @$ ]0 y& J7 C6 v一般人常會誤解，在NURBS曲線裡的一個Control points會對應一個knot。而這種情況通常只會發生在degree的值為1的NURBS曲線上（通常是polylines）。在degree的值較高的NURBS曲線上，是由degree+1個Control points群組對應2倍degree值的knots群組。例如：假設我們有一個degree值為3的NURBS曲線，其Control points為7和knots為0，0，0，1，2，5，8，8，8。這時，前四個Control points和前六個knots為一組。而第二到第五個Control points和knots 0，0，1，2，5，8，為一組。而第三到第六個Control points和knots 0，1，2，5，8，8為一組。最後四個Control points和最後六個knots為一組。

現在還有些軟件使用舊版本的NURBS轉換法。舊版本的NURBS轉換法在計算knots值時，須在總額為degree+N+1 knots再額外多加兩個knots值。當RHINO在輸入或輸出NURBS幾何資料到這些軟件時，會自動地增加或減少兩個多餘的knots值以符合其正確性。

評定的規則
Evaluation rule評定的規則，是使用一個數學公式，得到一個數值用來定義到一點上。
% k5 D# g+ L4 X- ~. o這是一個包含degree, Control points，knots和B-spline函數的數學方程式。NURBS曲線中的BS就是指B-spline。評定的規則從一個稱之為parameter的數字開始。你可以將評定的規則想像成一個神奇的箱子，而這個箱子每吃掉一個parameter值，就會運算出一個點的資料。而degree, Control points，和knots則決定了這個箱子如何運做的方法。
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$ G! A: O, m. Z" SNURBS的評定工具
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3 Z' \$ ~4 o. ?  P( Q+ N; e2 D& aRHINO 提供評定工具，你可以選取一條NURBS曲線，鍵入parameter的值，從而產生其相對應點。觀念上，knots的值決定了B-spline的基本函數。而B-spline的函數在parameter中決定了如何平均Control points和weights來產生點。