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一个简单的三角形心有多少?6 ]( N( s, b! }4 C( _' ^1 {$ G% ^( ]& [
数学学到平面向量,用向量来表示三角形的“心”是很有意思的事。但,历来的遗憾都是,很多学生不知道这些“心”是什么,而且学过之后总是忘记。功利化一点说,“四心”是高考考点,事实上,问题发现本身的乐趣就是一种牵引。整理一下,三角形有“心”有很多,相应的性质研究还远未结束,虽然一些“心”的发现与证实充满艰辛,除了有限的应用价值,更离不开对美的探寻与向往。; Q H% R5 L* v! v
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介绍三角形的部分“心”。
/ g# H6 C: B7 o' V9 n+ q 重心:三条中线的交点。(重心把每条中线内分为2:1两段;三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半;重心到三条边的距离与三条边的长成反比;重心到三角形3个顶点距离的平方和最小……)
7 y, l8 i) c, K4 D! b' |2 ~ 外心:三边中垂线交点。(外接圆的圆心;锐角三角形的外心在形内,钝角三角形的外心在形外,直角三角形的外心与斜边中点重合……)+ a0 f" N1 }1 u2 [; h% Z4 k. E
垂心:三条高线交点。(垂心分每条高线的两部分乘积相等;三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆;三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半……)
1 C3 u6 l+ L1 q8 _: ^# \* @ 内心:三个内角角平分线交点。(内切圆的圆心;内心到三边距离相等;连结内心与三个顶点会得到三个面积相等的三角形……)7 @: E a, n D5 [! a( r
旁心:一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。(旁切圆圆心;每个三角形都有三个旁心;旁心到三边的距离相等……)+ A6 P6 u. \1 M
界心:D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上,且把周长分成两条等长的折线,AD、BE、CF三线共点。界心又叫做奈格尔点。有趣的是,D、E、F三点恰好是旁切圆与三边的切点。( Y: R R7 n8 A& {
陪位重心:AD、BE、CF为三角形的中线,D'、E'、F'分别在BC、CA、AB上,若∠BAD=∠D'AC,∠CBE=∠E'BA,∠ACF=∠F'CB,则AD'、BE'、CF'三线共点。
7 O, v: O1 J1 O5 q g 布洛卡点:设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=ω,则点P称作△ABC的布洛卡点。(图中所做为第一类布洛卡点或正布洛卡点;若∠QBA=∠QCB=∠QAC=ω,则点Q称作△ABC的第二类布洛卡点或负布洛卡点。2 Z0 m$ o3 c$ k( i; c3 }
伪垂心:设AD、BE、CF为△ABC的三条高,D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F',则AD'、BE'、CF'三线共点。
d1 ]% J- h4 o! b 葛尔刚点:△ABC内切圆切三边与D、E、F,AD、BE、CF的共点。
+ j3 D4 q3 ^6 R' x: X8 A4 u/ K2 {9 r 威毕特点:△ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG,BF、CD交于N,则AN垂直于BC。
# S) J6 k3 U( N' u+ u 费马点:△ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB',则AA'、BB'、CC'三线共点,该点到三顶点距离和最小。(另:在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。)+ ], y6 _9 F& o. m9 w9 l5 z
这些心有时对作图是非常有用的
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