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一个简单的三角形心有多少?
2 Q6 d+ l: [1 T/ C- J$ i& B, T3 ^数学学到平面向量,用向量来表示三角形的“心”是很有意思的事。但,历来的遗憾都是,很多学生不知道这些“心”是什么,而且学过之后总是忘记。功利化一点说,“四心”是高考考点,事实上,问题发现本身的乐趣就是一种牵引。整理一下,三角形有“心”有很多,相应的性质研究还远未结束,虽然一些“心”的发现与证实充满艰辛,除了有限的应用价值,更离不开对美的探寻与向往。
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- O) K2 J& B% ^+ C8 }" B 介绍三角形的部分“心”。 I* v2 ?) m# i+ \! R- x, N' n# v
重心:三条中线的交点。(重心把每条中线内分为2:1两段;三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半;重心到三条边的距离与三条边的长成反比;重心到三角形3个顶点距离的平方和最小……)
4 U- o' \6 G5 F! h 外心:三边中垂线交点。(外接圆的圆心;锐角三角形的外心在形内,钝角三角形的外心在形外,直角三角形的外心与斜边中点重合……)( G/ A* |4 F+ X% d M$ y& V1 k
垂心:三条高线交点。(垂心分每条高线的两部分乘积相等;三角形三个顶点,三个垂足,垂心这7个点可以得到6个四点圆;三角形外心和重心的距离等于垂心与重心的距离的一半……)
5 O' ^* B9 l3 h 内心:三个内角角平分线交点。(内切圆的圆心;内心到三边距离相等;连结内心与三个顶点会得到三个面积相等的三角形……)
( M" K" `$ W8 @( P! g0 P8 L 旁心:一个内角平分线与另两个角的外角平分线交点。(旁切圆圆心;每个三角形都有三个旁心;旁心到三边的距离相等……): y: C* o% V) @/ c9 E5 z
界心:D、E、F分别在ABC的三边BC、CA、AB上,且把周长分成两条等长的折线,AD、BE、CF三线共点。界心又叫做奈格尔点。有趣的是,D、E、F三点恰好是旁切圆与三边的切点。0 T( ?7 P, [ r% h0 j1 I! w0 s
陪位重心:AD、BE、CF为三角形的中线,D'、E'、F'分别在BC、CA、AB上,若∠BAD=∠D'AC,∠CBE=∠E'BA,∠ACF=∠F'CB,则AD'、BE'、CF'三线共点。, Y/ ]5 f1 B$ z `2 E5 e9 ]
布洛卡点:设P是△ABC内一点,若∠PAB=∠PBC=∠PCA=ω,则点P称作△ABC的布洛卡点。(图中所做为第一类布洛卡点或正布洛卡点;若∠QBA=∠QCB=∠QAC=ω,则点Q称作△ABC的第二类布洛卡点或负布洛卡点。# Q6 `$ l$ l3 X+ [
伪垂心:设AD、BE、CF为△ABC的三条高,D、E、F关于三边中点的对称点为D'、E'、F',则AD'、BE'、CF'三线共点。8 n8 |- D6 B: H" u" r
葛尔刚点:△ABC内切圆切三边与D、E、F,AD、BE、CF的共点。
! e8 K) E8 j. O6 E 威毕特点:△ABC两边AB、AC各向外正方形ABDE、ACFG,BF、CD交于N,则AN垂直于BC。& ?2 w( h( M1 I, X5 O
费马点:△ABC三边各向外做正三角形ABC'、BCA'、CAB',则AA'、BB'、CC'三线共点,该点到三顶点距离和最小。(另:在一个多边形中,到每个顶点距离之和最小的点叫做这个多边形的费马点。)6 P g1 l7 g' d- h. E/ I- X$ z
这些心有时对作图是非常有用的
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