锥齿轮的非零变位啮合

woodee

    与圆柱齿轮一样，在许多情况下，锥齿轮必须变位。
0 ~! i. m$ Z( h" l- {% h, s

    我曾经在小家电的传动机构设计中，有过选取10齿对10齿的锥齿轮副的经历。当时意识到两个齿轮都需要正变位，也采用当量齿轮的正变位的方法，勉强而为，做出3D模型，用CNC加工出电极，供以粉末冶金齿轮的模腔成型之用，但同时也发现了啮合不顺滑的问题。直到前个时期，才从球面渐开线入手，得到非零变位锥齿轮啮合副的3D参数模型。

3 t: X7 _( B& v/ S. v    如下图示，两个齿数都是7，轴夹角为90度的直锥齿轮啮合状况：

蓝色线为节圆和分度圆，绿线为基圆。啮合区域限于两条绿线之间，由于没有变位，有效啮合区过小。而且，多会有过度曲线干涉的情况出现，如下图示：
- s2 i1 q& `# M. F" y7 I

将两个齿轮的变位系数加大到0.4，齿厚加宽到原来的1.07倍，便会得到下图的啮合状态：
" R1 y4 u# [" a& l
" `* y7 M4 K9 D蓝线为节圆，红线为分度圆，绿线为基圆。看得出，啮合区域增大了许多，并且齿顶的啮合点在有效啮合区之内（基圆之外），于是也就消除了过度曲线干涉的状况：

' p6 o' D, G) ~& F9 c

- |7 B8 ^- t3 W: L
, B+ P* X5 U) Y

woodee

锥齿论与圆柱齿论不同：
1. 圆柱齿轮模数、齿数、螺旋角定下之后，基圆、分度圆就定了，变位系数的变化，会导致齿形从而中心距的变化；
2 ~; _; e3 i- y- D; b2. 锥齿论相反，齿数、轴夹角定下来之后，节锥角就确定了，其他参数的变化，会影响基圆、分度圆的变化。

李营

这模块有没有

hyfjy

一楼Woodee先生的《锥齿轮的非零变位啮合》讲的实际上是直齿圆锥齿轮副设计中常遇到的设定两齿轮的变位系数的问题，图1中展示的是当齿轮的齿数较少时，齿轮（尤其是小轮）的齿根过渡曲线会对另一齿轮的齿顶产生干涉，在铇齿加工时，由于铇齿刀的展成运动，一般会切出小轮的齿根过渡曲线，如果不考虑强度时，是能啮合的。而用三维作图后在加工中心或精雕机加工时，由于作图时不太容易作出齿根过渡曲线所形成的曲面，加工的成品在啮合时就会产生干涉，影响正常啮合。文章用正变位的方法（即两齿轮的变位系数之和大于零）设计的齿轮副改变了啮合状态，是一种解决问题的有效方法。
笔者试着就这对齿轮的设计提出一些新的观点。
一、
6 F$ r/ E! _0 L) E, k原齿轮副参数
3 h2 y3 O- a" f8 t& @笔者设定原参数如下：齿数：7：7，模数：20（为作图清晰加大了模数），基本齿形压力角取20度，两轴夹角为90度，径向变位系数都取0，按等顶隙设计方法计算得如下的齿轮参数：
压力角及啮合角:
A= 20
A0= 20
" d+ h8 o/ a' h  v5 k4 w. M齿轮模数:
M= 20
齿数:
: H* D. X9 G8 p  UZ1= 7

Z2= 7
/ n, @# f2 U4 t- K, h9 Y( d" u两轴夹角:
" ^3 J) [  f6 Z! O) F+ r- jK= 90
+ M" o5 l7 o/ k( p0 T. |分度圆直径:
2 d' ~2 A, r; N* C' q2 X$ W$ ^+ o8 yd1= 140
) N, D4 E5 h# h& Sd2= 140
分度锥角:
X1= 45
X2= 45
! m2 J" P3 |* V& V* U节圆锥角:
; t% R- T0 G* z7 HX1= 45
X2= 45
" B; @3 O, h* {$ |% B径向变位系数:

: l' f9 a: s1 _% h0 n( `/ gX01= 0
X02= 0
大端锥距:
$ F) s( I5 {+ q$ A1 W; K" QR1=R2= 98.99495
% G/ v( g: W/ m+ b+ H/ E大端齿距:
' N. X( ?- S! B+ N) y* N. xP1=P2= 62.83185
$ S  T8 i/ m: S$ s  _: S" n大端齿顶高:
ha1= 20
ha2= 20
大端齿根高:
hf1= 24
% }3 d) i7 k7 q: r  ]hf2= 24
大端全齿高:
h1=h2= 44
* Y& \  s& o9 {. Q1 v大端齿顶圆直径:
4 }" @8 h  X' f4 P/ i0 Nda1= 168.2843
da2= 168.2843
大端冠顶距:
$ C/ W) y) G9 _" I$ \8 MAa1= 55.85786
Aa2= 55.85786
' [% r' q, F7 y- g7 g5 C8 T* \齿根角:
& d/ F/ Y, t* }: D$ \/ U* u& x) nXf1 = 13.62766
& T4 j$ @4 C2 ^* B2 h$ N2 BXf2= 13.62766
( W4 v/ ]' a% }# |) N顶锥角:
Xe1 = 58.62767
0 P( k% c: X5 p/ c2 o* CXe2= 58.62767
) W5 f: h( j1 I根锥角:
Xg1 = 31.37234
Xg2= 31.37234
0 T7 h# @% r/ a1 `5 Y9 k大端分度圆弧齿厚:
S1
/ }* u( L- e7 e  P, _- m7 \= 31.41593
S2= 31.41593
大端分度圆弦齿厚:
0 m$ k! F+ ]  `+ k- P" [/ kS01 = 31.2841
S02= 31.2841
8 t% I3 g& G5 P0 k* S大端分度圆弦齿高:

5 ]  E( u. ~8 MH01 = 21.24623
$ I+ H& E3 {. x0 e8 n, cH02= 21.24623
) d4 g/ q1 d9 A. ], {. Z( ]2 I笔者在UG4上作出如下的啮合图：
5 b; M0 ]" ~( s& v2 ^3 e
4 t0 s4 y/ m+ e! q# O3 l! y8 s* `; [file:///C:/Documents%20and%20Settings/w/My%20Documents/My%20Pictures

hyfjy

5 L9 i; \" i" |$ X; [3 e从图上可以看出与woodee先生的图是一致的，表现为齿根较瘦，在这种情况下仍会产生齿根过渡曲线干涉，结果是降低抗弯强度，不能使用。
( y. G) O4 Y, C7 t6 B4 q一、
改为角度变位齿轮副
第二个图是设定两齿轮的径向变位系数都为+0.4时的齿形情况。先给出计算参数如下：
压力角及啮合角:
5 u4 ]# M( g$ K! rA= 20
A0= 28.26066
齿轮模数:
M= 20
齿数:
Z1= 7
Z2= 7
- j& b& i0 e1 ~5 Y3 y7 M两轴夹角:
( q7 G9 B( ?3 \0 x5 P/ @K= 90
2 {" I( A" D4 q8 |0 H" \分度圆直径:
d1= 140
d2= 140
) f0 _1 s% e" @分度锥角:
' Q+ z; Q% D$ m+ L5 J1 V8 {X1= 41.41399
X2= 41.41399
+ Q( O  e' `  v4 A节圆锥角:
: b  \) t$ D! G* V7 uX1= 45
' s* N: W7 A$ E$ zX2= 45
径向变位系数:
X01= .4
X02= .4
大端锥距:
/ b% e( b4 x. y  X5 v# iR1=R2= 105.6137
* z4 @$ L- \' p4 |, e: u  C大端齿距:
P1=P2= 62.83185
& R' k+ ?  j  H: B# K* g: d. u! I大端齿顶高:
ha1= 25.468
ha2= 25.468
大端齿根高:
7 E) J+ L- G7 N1 Z; hhf1= 16
$ o2 ~+ p/ O1 o# g8 h& n! Xhf2= 16
0 `% _8 F9 P. i( _2 L5 a大端全齿高:
h1=h2= 41.46771
! T$ ^) ?; m. q( v" ^. _大端齿顶圆直径:
da1= 176.0168
da2= 176.0168
* _, c/ K+ v! q# H大端冠顶距:
. v( k+ f/ v3 d3 k% zAa1= 61.35194
Aa2= 61.35194
齿根角:
; B' F2 J( }8 p# |' E2 n
1 K% z( M* P5 z6 Y  KXf1 = 12.08814
Xf2= 12.08814
3 y5 E' j, w, z! L) p顶锥角:
4 [0 ^1 w0 i: h) {Xe1 = 57.08814
Xe2= 57.08814
7 h( H/ x. z' e1 m8 I8 k根锥角:
/ w3 k7 m7 ]+ ^% g  {Xg1 = 32.91186
Xg2= 32.91186
大端分度圆弧齿厚:
S1
" o2 y- ?. m& R$ j/ ^+ P( A) F= 37.23945
S2= 37.23945
大端分度圆弦齿厚:
. f6 F3 n  u, r; `& [/ h$ AS01 = 37.01988
S02= 37.01988
大端分度圆弦齿高:
H01 = 27.21878
H02= 27.21878
4 [/ b# ^4 K& f( I% P; }    根据这些参数作出如下的图：
4 _3 g" @  q4 j  D1 b
9 J5 o! C% F% W; s* a( ^
从计算参数上可以看出，齿轮副的啮合角变成了28.26066度，即28度15分38秒，从这点上看相当于加大了齿形的节圆压力角，
一、
用改变节圆压力角的方式得到理想啮合齿形。
) E5 c$ f+ d& L( r, |* K笔者试着用改变分度圆压力角的方式进行了计算，把角度变位齿轮真实的啮合角作为压力角，而仍然采用零变位，计算结果参数如下：
压力角及啮合角:
9 S) a, E. M, l' kA= 28.26066
$ @+ M/ c6 _; Y4 @7 QA0= 28.26066
齿轮模数:
M= 20
( t6 H% {9 F* t& ~( O齿数:
* O9 K' q+ Z8 O; R" H7 Z5 }Z1= 7
Z2= 7
8 R: v+ \) M0 x/ @  F两轴夹角:
K= 90
分度圆直径:

+ S  \- F5 K, ^6 k/ Y# Y5 ~. wd1= 140
" U+ F/ Z7 E) y8 |7 P' ]6 xd2= 140
分度锥角:
# t  h- n& y' r1 v  K) rX1= 45
" Z. t, z# A  [4 X  f' hX2= 45
节圆锥角:
  {. O- s" W1 bX1= 45
X2= 45
  f4 h" c' a' e+ ]- M径向变位系数:
0 |! z8 n) n4 H' X& zX01= 0
X02= 0
大端锥距:

R1=R2= 98.99495
大端齿距:
% n& ?8 r$ D- v( p0 aP1=P2= 62.83185
大端齿顶高:
ha1= 20
, E! W1 r; W( Vha2= 20
大端齿根高:
hf1= 24
hf2= 24
7 |# O+ x+ W) {( H# B" \3 i* _0 i大端全齿高:
h1=h2= 44
8 ~% u% h4 D% j, p4 z9 r% K大端齿顶圆直径:
* I; J0 K! w9 Y, X' ida1= 168.2843
$ L3 b0 F# a6 G2 ^
# ~9 V6 x8 c+ Uda2= 168.2843
大端冠顶距:
/ _9 o8 V4 k2 ]" e1 hAa1= 55.85786
Aa2= 55.85786
齿根角:
Xf1 = 13.62766
6 U- O& G  G  w# d0 MXf2= 13.62766
顶锥角:
) j$ x3 \/ D) N% {1 {Xe1 = 58.62767
( f& P. l5 e4 O- B8 Z) t% e0 S# M3 T8 kXe2= 58.62767
根锥角:

3 x; p, \# u3 E8 OXg1 = 31.37234
Xg2= 31.37234
8 D! \4 \% y; I7 ]* B  }; w大端分度圆弧齿厚:
: x6 M' @9 K' @S1
= 31.41593
S2= 31.41593
大端分度圆弦齿厚:
S01 = 31.2841
1 P: p% e; n# {7 `S02= 31.2841
9 f4 w6 ~# R4 s4 |大端分度圆弦齿高:
H01 = 21.24623
H02= 21.24623
可以看出齿轮副的节锥距等一系列参数都没有变化（与压力角为20度，变位系数为零相比）也就是外形尺寸没有变化，而啮合角却变了，这样的齿形变得理想了。
6 [, V$ O, L9 h# z3 l0 u. ~用这组数据画出的图如下：



7 Z/ A! }  Q0 M4 Y6 [8 v笔者在完成这三副图后，要对比一下压力角为20度，取正变位
与压力角改变后取零变位的区别，把最后作出的图考贝到有变位系数的图上，发现了一个奇怪的现象：齿曲面居然是重合的，图如下

% B/ d6 ?- @. K4 Z! [
图中绿色的为改变压力角的齿轮，红色的为分度圆压力角为20度，取变位系数+0.4的齿轮，整个齿面的红、绿相间，表明这部分曲面是公共的。
, C6 i# V' Z+ q  e) B    我们知道，锥齿轮的齿面是由基圆锥上产生的，齿的曲面相重合正说明了基圆锥是重合的，或者说是部分重合的，也就是基圆锥角是相等的。
    用这种方法设计的直齿锥齿轮副外形尺寸没有变化而能得到令人满意的齿轮副，应当是一种好办法。
' a# O& a4 z3 G- W9 Q. X2 b
[ 本帖最后由 hyfjy 于 2008-8-9 21:18 编辑 ]

along2004386

可是您是如何确定齿轮的变位系数就是0.4呢？在这时候齿轮的重合度是多少，好像和我计算的不太一样呀？不吝赐教。

hyfjy

1.这对齿轮是属于非零变位齿轮，也就是称为角度变位直齿锥齿轮副。这套设计计算公式不是太好找。我用的是前苏联H.C.阿切尔康主编的《机械零件》（机械工业出版社1956年9月第一版）。目前手边无国内其他版本的该类计算公式。好像近期出版的有关齿轮计算的工具书中都不提供直齿锥齿轮副角度变位设计计算公式的。
2.在设计上，变位系数的设计一开始是从提高齿轮副齿根抗弯强度上着手的，是先设计出啮合角后根据啮合角及齿数比计算出相应变位系数再进行圆整；也有根据齿轮副的齿数比进行计算的。本例是对楼1提出的课题进行展开讨论，所以依然取0.4这个值。当然这个0.4可以改变，从三维设计的角度讲，能从图中直接看到是否存在齿根干涉，齿根是否在进行精锻加工时有“负拨模角”。因为作三维图的最终目的是用于生产的，尤其是大量的精锻加工。
3.就这对齿轮副的重合度，变位系数取零时要比变位系数取0.4时要稍大点，具体计算结果不日计算后再上传。这也只是个人的计算，可以对计算结果进行探讨的。目前本人采用的方法是自编程序，也就是把书上的计算公式编程后反算书中提供的案例，并对已生产过的图纸进行复算不断调整程序，实现设计要求。

8 `! }) }( a, r* C( w  |+ r2 S  ^本人联系方法：QQ，909535665，笑天
欢迎同仁对这一课题作深入探讨

hyfjy

回复 6# along2004386偶然的机会，又打开了过去上过的网页，发现这个问题我尚未回答，现在我编的程序已经能快速计算直齿及圆弧齿锥齿轮的重合系数了，对于这道题，7：7的直齿锥齿轮副，当变位系数都取+0.4时，啮合角为28.2606625度，重合系数，或者叫当量齿轮的重合系数为1.23457129615046
计算数据如下：
- q, \) }8 D+ y& ^   直齿圆锥齿轮副设计计算表
一、输入参数
    大端模数:m    10
        齿数:Z  7             7
      压力角:α   20
" M6 q; C2 k, {% j+ F8 R3 ]% V      轴交角:Σ    90
径向变位系数:Xn     .4            .4
- J+ b4 C5 d+ G! p; y4 x5 }" Z, ]切向变位系数:Xt     .08           -.08
  齿顶高系数:ha＇   1            
0 Y+ I1 `9 j9 W9 X! j5 l  齿顶隙系数:c＇    .2
    设计齿宽:B    14.8
1 u6 C5 d+ u  A$ V2 S二、计算输出参数
      压力角:α  =20
      啮合角:α′= 28.2606625000887
    齿轮模数:M=10
        齿数:Z1=7                           Z2=7
    两轴夹角:Σ= 90
  分度圆直径:d1= 70              d2= 70
    分度锥角:X1= 41.4139971099096             X2= 41.4139971099096
7 e' f7 K- {9 ~/ ^    节圆锥角:δ1= 45             δ2= 45
9 l* N0 |. S% v, N7 [& I, y径向变位系数:Xn1= .4              Xn2= .4
切向变位系数:Xt1=.08              Xt2=-.08
    大端锥距:R1=R2= 52.8068486461276
    大端齿距1=P2= 31.4159265358979
5 U! V, U( |+ W( d9 I7 ^7 u  大端齿顶高:ha1= 12.734         ha2= 12.734
6 Q( S( U. e3 g/ _" ?; C- ~  大端齿根高:hf1= 8              hf2= 8
  O! `* w: d' p1 Y; K  大端全齿高:h1=h2= 20.7338522656269
' s5 l  y) D# O  齿顶圆直径:da1= 88.008386575305              da2= 88.008386575305
" E. [/ p2 [" g! j4 I& G: @  大端冠顶距:Aa1= 30.6759682538845             Aa2= 30.6759682538845
* z9 s8 [  y' b) z2 l      齿根角:Xf1 = 12.0881391860524          Xf2= 12.0881391860524
      顶锥角:δa1 = 57.0881391860524          δa2= 57.0881391860524
: _2 V3 Q9 c% f( Y7 o: E8 H      根锥角:δf1 = 32.9118608139476          δf2= 32.9118608139476
  大端弧齿厚:S1  = 19.4197251420786            S2= 17.8197251420786
- s* ~9 k" P" F  大端弦齿厚:S01 = 19.2951727965748            S02= 17.7234917759789
0 R/ [8 W. Z- j  大端弦齿高:H01 = 13.6862385414134            H02= 13.5357684395644
, r! d: \! b& Z9 m: @: c; A0 \; ]  中端弧齿厚:S中1  = 16.6983742238598            S中2= 15.3225875655674
  中端弦齿厚:S中01 = 16.5912758143578           S中02= 15.2398397023409
6 [& ]. ~, l. b6 O) S  中端弦齿高:H中01 = 11.7683402421767           H中02= 11.6389560180543
    当量齿数:  Z当1= 9.89949493661166          Z当2= 9.89949493661166
    冠轮齿数:   Z冠= 9.89949493661167
刨齿机用齿角:  Y1  = 13.1547671509514           Y2= 12.3473715139052
当量齿轮重合度:  ε= 1.23457129615046
. J( W. \, }2 k2 J7 C6 l$ ~  X
. B- t9 l0 T6 q% T2 X- l5 R9 J
* t, B: c8 i) L6 ]. M- f7 x计算的界面如下：
% \. l9 K; [+ G0 s
) G! x! H. U; k$ x& [. n' g3 i
2 f, M- C! f  P* F3 b6 q8 U
9 t" [7 L  z& r% n但愿你也能在某一天再看到这个贴子，谢谢。

woodee

......
切向变位系数:Xt     .08           -.08
) x2 w' y& v# M' _% o6 m......
9 _$ Q3 A: {$ F7 P8 `1 W1 Ohyfjy 发表于 2010-4-16 19:54

- `& t% G9 f% v' X! n
切向变位系数也应该向等吧？

hyfjy

回复 9# woodee

是的，你说的很对，在这例中应当把切向变位系数取为0才对，为突出二个齿轮的不同，也可以取一正一负，好在这一参数不影响最终的重合系数。在计算中如果要取成一致就会有如下的计算结果：
   
$ B! p# X7 b+ o5 v5 v/ b4 f9 z1 |( e
) y1 u/ R; \! }/ z4 ~5 }    直齿圆锥齿轮副设计计算表
6 Y; x0 y5 w8 F( M$ b0 S: @
& H! z9 k# S! V7 C: ^" h/ k1 G. B: @一、输入参数
: [! S! @2 o* i; M1 O) ^: ?    大端模数:m    10
        齿数:Z  7             7
7 j! [/ Q7 u& g6 k$ D      压力角:α   20
# e4 S, [% W1 k* R" L      轴交角:Σ    90
径向变位系数:Xn     .4            .4
2 M7 L- d! d9 S* \$ {  Q8 T. L切向变位系数:Xt     0              0
. b% G" Z% @) y% q  齿顶高系数:ha＇   1            
# F! U! k- f+ S( f, `4 j( ^  齿顶隙系数:c＇    .2
' e$ [7 q* S( y- D    设计齿宽:B    14.8
1 L2 P( K$ l$ U" s
) f- ^& D' v, n/ W/ V2 }0 P- a二、计算输出参数
      压力角:α  =20
      啮合角:α′= 28.2606625000887
    齿轮模数:M=10
        齿数:Z1=7                           Z2=7
    两轴夹角:Σ= 90
  分度圆直径:d1= 70              d2= 70
3 |! ~$ m1 P. u& b3 ^    分度锥角:X1= 41.4139971099096             X2= 41.4139971099096
    节圆锥角:δ1= 45             δ2= 45
径向变位系数:Xn1= .4              Xn2= .4
' J0 h0 l& T+ @: Y3 g6 p: i6 q# E切向变位系数:Xt1=0  Xt2= 0
    大端锥距:R1=R2= 52.8068486461276
    大端齿距1=P2= 31.4159265358979
  大端齿顶高:ha1= 12.734         ha2= 12.734
  大端齿根高:hf1= 8              hf2= 8
  大端全齿高:h1=h2= 20.7338522656269
  齿顶圆直径:da1= 88.008386575305              da2= 88.008386575305
  大端冠顶距:Aa1= 30.6759682538845             Aa2= 30.6759682538845
      齿根角:Xf1 = 12.0881391860524          Xf2= 12.0881391860524
8 }3 }; r( B8 x, a' J% ^7 p      顶锥角:δa1 = 57.0881391860524          δa2= 57.0881391860524
$ b! L* s3 u+ g      根锥角:δf1 = 32.9118608139476          δf2= 32.9118608139476
  大端弧齿厚:S1  = 18.6197251420786            S2= 18.6197251420786
  大端弦齿厚:S01 = 18.5099402773019            S02= 18.5099402773019
+ E  L# C% p, w. ]' ~7 ]  大端弦齿高:H01 = 13.6093872464176            H02= 13.6093872464176
  中端弧齿厚:S中1  = 16.0104808947136            S中2= 16.0104808947136
! u) o3 G) X, w  中端弦齿厚:S中01 = 15.9160805495622           S中02= 15.9160805495622
  中端弦齿高:H中01 = 11.7022583757219           H中02= 11.7022583757219
    当量齿数:  Z当1= 9.89949493661166          Z当2= 9.89949493661166
* ~. V" ~1 M7 T$ X  X! U    冠轮齿数:   Z冠= 9.89949493661167
% a" k! V3 ~& x, G! N刨齿机用齿角:  Y1  = 12.751713030809            Y2= 12.751713030809
* i- Q: O# V' e) ?# T7 d6 A# i当量齿轮重合度:  ε= 1.23457129615046