基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
! G2 @: z# Z* g! D" ^將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
2 b, \5 F! c8 V* O3 a法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
; K' S. L9 L4 p8 k質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
) @0 c+ e+ X! C+ Y" X; f顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
% S" Y, }# O4 P# v+ ]' s: P' O, I6 G# z判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
- b) O. D& H8 ]) x: n1 C7 j單元大綱
0 w, c5 O! t2 i2 W& `3 G2 F在本單元所介紹的常用分配,包括：
一、基本機率論
二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
( T% f$ w$ L: f+ o; e) h6 I* t4 l1. 不連續機率分配（計數值分配）
a. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
5 k3 I! T7 }" i4 _b. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
四、統計量分配（抽樣分配）
) J/ G2 U0 l- V1.統計量之抽樣分配
$ v# S# p& y% s) B* {) `4 la. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
b. 樣本全距（R）之抽樣分配
! w% ^! Z. `0 p' C, Z7 r; \# J$ zc. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
; z' s* c7 I  b+ V2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
1 u9 z' R! u9 k  w3 A0 zc. F分配
/ Y; N7 v0 |3 V1 q0 d9 n- }4 ]基本機率論
此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
) Y; c  R5 v, b$ k' i% i) F演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
' U6 K# \& k' z/ v母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
4 E0 y% f0 q  W+ m8 D, Tex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
) o# {9 O0 ]6 u0 h/ u樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
! x. _! H4 C. X所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
ex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
  A8 H  n- A- ]取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
0 B- U3 Z: U6 w# M$ qex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
' v3 |- {/ ~# q4 M$ C$ a統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
0 E; F' R0 ^9 i- |ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
1 d: V- ^1 y- o3 {" ^9 O值。
5 s$ g9 ~2 }) J5 e4 ]0 ^0 S機率(probability)
/ b: ]& F  m. y/ |% s4 _機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
9 f  q# o3 m: w; Q可能；1代表確定會發生。
8 m$ a; R4 P( [( y機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
的機率計算方法如下：
P(A) =
P(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
% ~  ]+ q% g+ O# B$ g, I6 E& y8 GN：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
$ Y0 R* U! ?3 i0 X. k$ M) ~ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
% B5 l0 T- z/ `7 ^' C: e  ?, F& ^樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
/ F" H4 S, m3 XP(A) =  =
6 W' r3 z2 T# ^% Q單純事件與複合事件(simple event and compound event)
單純事件：無法再分解的事件
複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
9 Q! d- [9 a. Q! yex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
3 X3 C- Y+ T+ g, D$ w! u事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
sol:
：第一個電路板合格的事件
：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
：第二個電路板不合格的事件
8 w3 T; M% S& M9 E$ ?6 Z6 Z樣本空間S由四個簡單事件所組成
S = { , , , }
# K3 W8 m! i# A/ P$ b各事件可以描述如下：
; M5 J' I# k4 N% E" W/ s/ Y) ]={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
- l8 l. J' J: |( g' j9 Y5 B9 ?={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
# _, O1 T* a$ z9 f8 u! @. Y={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
設每個事件發生的機率皆相同，


9 a' V! [8 D# Q4 N8 \0 ^
加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
6 X+ l9 v2 F. w2 @7 R3 d條件機率
! D  P, V5 F5 ]' I$ W+ d7 qP(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

) R( D. C3 G$ y# g% }獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
: w# A+ @1 j* K' b# S4 c4 i- ]獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
! |& p; i" h! j5 o$ |4 o立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
7 {- e7 m- Q2 g( s$ s互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
* a4 D0 h5 s% n* D∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
故A與B為相依事件。
; h; ~6 j" \7 Y, }
例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
1 h. G4 z; y0 l; n板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
  G: d: {5 s! F  Ba.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
- _7 [8 g6 r) |# Vc.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
- t+ b2 U0 ?- i+ U; dd.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
. ?$ b; n. i& |" D6 R# x是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
* ^  m1 x# D& s+ V, G: J' t5 Asol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
8 u- S1 {4 K+ Ga. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
1 K0 S8 N. L, XP(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
5 O* P4 }8 e9 \6 b- p; v: FP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
1 ?, a# z9 }9 w- C8 q1 D: Lb. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
; X$ B8 M9 m8 [& l* {=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
; S; f7 I1 ?1 ]" v% ]+ a3 w=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
1 T1 B) _8 U, |/ }, |+ u& f所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
; ?/ F; ?4 \4 ce. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
' ]4 }; g+ ~$ j- \; B8 i' |& ^[ 中央趨勢量| 分散度]
1 Z6 _" R# x1 d8 M: R. E3 w
統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
9 O$ J4 }) z) G$ l, [0 N) Q1 ~敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
/ @6 V9 D/ O. b$ w6 Z0 }+ z量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
" ?$ @( M+ }$ [6 O+ [在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
1. 中央趨勢量的量測
2 v3 x0 V! L/ h- n2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
% |7 R% y9 @) S: Y/ E在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
& n' Q1 g+ F  @% w. L$ i& b決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
a. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
" D7 u2 \' o& l1 J4 `4 u= 。母體平均數以 表示， = 。
例題a

3 z! N0 w/ u* `5 p! C0 |b. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
& A& b) _6 I$ o/ l# T$ R個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
- r2 o* w% d, Q
( w1 r) P' N/ q# gc. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
7 y0 H5 N6 ^8 H) U7 E比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。
) B% k( w& c8 M
分散度的量測
分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
1.Range:在一組資料中最大與最小的差
) r- M4 v' s8 V! b  i$ j# AR= Xc - Xs
↑ ↑
5 t0 K& {+ g( W7 {& O4 x最大 最小
6 C2 _6 p$ C  k4 L8 U- }2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差
! z3 U3 j$ M. O! u: o
4 }) C& \, G3 N- o+ I7 R7 REX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
2 l6 {2 b+ D4 F1 E樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
+ c9 b* ]/ E, F, c52.5，請問中位數為多少？
0 E* B, G2 N' j! ?4 rsol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
2 a8 i+ @/ B, h) D+ w3 R2 \& }與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35


EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
3 t& f5 [$ Z1 O: {$ T9 @) C取30個樣本如下：
/ F+ `6 S+ l' N9 i' t7 H; R% Y- `由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
& s: E& f- g( h. S$ E5 O/ E0 O120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
; O1 s7 C8 r5 D3 u* B# E. i100 120 120 150 120 100 120 120 100
6 R6 j( a% ?" _4 b; o+ W! y* Z
- @5 A; `8 Y0 J7 I/ H機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]
7 O) p* }% }" q2 V' `# Q
機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
可分為連續和不連續兩種。
a. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
b. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
1 s4 C4 c$ o& ^$ v) }1 y* y機變數X等於某特定值 之機率為
4 r6 x2 `' d* }8 MP{X= }=p( )



超幾何分配
從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
; T7 f; Z# d! I* N( V$ o1. 定義
1 W  d( V( W# s# p- x8 V  F如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為

$ L+ j5 j  N6 t9 V: S! N  v4 u: J  e
. O- B5 b# U5 S" T- g2 N
% ]7 l( N" Y- Q% a7 K  |若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
* }0 l8 F9 Z4 L4 uDistribution）
8 B% ?; A% g2 X, u, J, {' E4 [& Z( X

; y5 D3 A9 X- L8 @4 [! _/ Z
二項分配
7 M: p7 D" c8 i: B& N& |1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
- i4 G- d" w, [# I4 M, s，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
% Y3 F2 t- ~. F1 g; V! O5 cf(x)＝0， x＝其他數
3 Q, q4 k$ S4 I, K+ J2 [則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
& O% ?* f" w5 W  l假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
。
$ [: h5 |) G. `9 N超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
5 I3 l2 y- A# {三種情形應該採用二項分配：
6 u  v' C8 T. G6 q2 p; J& m0 Q1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
+ x4 Y9 Q7 h+ K, F/ t" B, s9 L( J2. 二項式的展開
- f7 z+ k  h  x  [( T7 s- S
, L8 y0 {: k$ r3 X" Z

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
, g* ^3 v# q5 Zq＝1－p：B事件發生的機率
n：試驗次數或樣本大小
  y6 k8 C& r. NA與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
+ Y1 Q; ^) C( b+ s平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
$ Q% w1 R/ K2 N& a# p4 {q：1－p

" C+ Z# c  u0 h7 r3 ]+ {0 Z1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
/ }0 a: \$ k, ]

: j' E; p, C  p0 s5 z則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
+ }! W' ~" p9 |& i) f$ b3 R卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
  }( c: k1 T/ w0 t6 ~/ C0 G形：
# Y$ }4 g. {$ Z8 V- D( M% Xa. n ≧ 16
b. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
5 Z) k4 G" c$ r. H, R4 u應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
: c7 A! O, E3 h6 N' L等。
. {: w! p) H, E; `b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
等。
, h: C2 b+ B8 |: M2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
變異數： ＝V(X)＝C
& J! i+ q1 z) n9 W" Q( n卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
; X  c! O$ F. D知，則以平均缺點數代替之。
3 T6 E0 _7 x( \, w! R, n. v5 x
* C+ g# g6 f# d9 g8 F, `常態分配
1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
* ]) U9 m( j1 z: A0 \3 k則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
- Q  O2 R. G! t/ ~% H. h2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
2 I( H% z! e3 Z值等
b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
2 L( F- P5 g% L; V$ H6 H$ wc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
f. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

, S: s. Q) k: J: T% G2 I* j
  ^8 M& U7 E# L- l1 g( |4 V
3. 標準常態分配
" }; R1 z' Q& g6 ^為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
% T& @* e9 n* w- D& i  c分配(μ=0,σ=1)：
# N+ ~8 X! Q/ |0 ]) L, [! P經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
， －∞＜z＜∞
) `" J0 o) U+ Y# H' a6 J" |由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
: W5 d* H: l2 }# ~1 q之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。



4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
* E0 Z" P* D8 F5 H0 c中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
& o9 _6 ~1 {: C' y  a" Q1 h8 f$ o品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
。
; L: k6 e4 r) `# c. M' G當n→∞時，f(Y)為常態分配。
2 v3 y4 |" g0 F6 o7 V, f/ |: d! {" y因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
! A8 v" O, g7 e2 z. d在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。
$ S: K  r0 N4 Z- H
常用分配間之關係
超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
! K9 Q  n5 h# e( Q' u明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
' d5 B$ @* k: ~N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
2 m9 ~8 L3 Q+ O* P- Knp＞5
' w" Z9 P( J0 Q" x/ l& H不良率在10%以下，n很大，但
不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
. e2 |2 v3 @- f7 g& B$ Cp＜0.50
np＞5
4 N2 N& r$ ?% {  q& |不良率在50%以下，n很大，但
8 }; c, S' K1 b* M4 M% S# N不良數在5個以上時
" V9 Z8 v7 n1 f$ r6 W二項分配→常態分配
: N; P1 K( m4 v0 V3 s* O; \, qnp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
. [+ S' z6 m7 s$ {: t& Q: `上時
" l' b: p0 l2 D0 r" `4 ]9 ^卜瓦松分配→常態分配
/ U2 P& Q6 n0 w5 G6 m8 b3 n
抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
  i( _; G. L, s在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
由樣本去推測群體之特性或相互關係。

  w1 Q0 y/ ~& F5 H( C2 I( m
  }0 C4 E/ |3 s" }
6 x  r, H3 m2 m/ H* s* O8 @: H% ^1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
' c" [' p9 v% a0 n假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
8 X& N4 K# |5 _數，則



. G3 V' l. ?$ k( J2 l3 |* z

∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
  G) Q4 G' N, B8 d& Z  q0 c7 O於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
2 [! x( _9 d2 H+ `7 ?, I
* \, X3 ~+ C; X
+ i2 t2 f! [/ r' d- g; o* U
例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
8 m' Q. q' A3 b' g/ mV( )＝ ＝1.8


- C% G$ ^- _1 k8 {

2 g: @4 h7 ]8 V9 ]' e
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

; E$ ~' K+ n  G5 z3. 樣本標準差（S）之抽樣分配
, R& t4 K- X' i! o
7 f' R0 `$ E, C( \$ i# N6 h6 M
! _) n( }2 V+ t# Y" x5 u1 v& E
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
( }" w5 _  r2 C$ n1 ^
) P  E; x; D/ I. g4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
5 j& r' d3 U, I  ]5 N6 A9 GM 　 M
; m  u  z& ?+ m+ b' x+ xk X1, X2,……,Xn Rk
, q- x. K0 W# \5 ^　  組號 數 據 樣本標準
$ ?/ U* S( k) ?8 O8 I7 \+ ~5 a差
1 X1, X2,……,Xn S1
2 X1, X2,……,Xn S2
6 I" o6 w( x8 J' k$ f/ N5 G& LM 　 M
M 　 M
k X1, X2,……,Xn Sk

E( S)＝
. L) k6 M* m! N9 T5 X, {8 t4 Y各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
7 k$ j: z' k4 `1 J不是一個常態分配。
/ a& _- L$ E$ w; u
7 C+ ]  c" R: c0 Q9 l" D" q4 M2 b
定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
/ V7 I7 m; e/ F) x限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
+ s  a+ F0 ^3 C* W抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
4 }' y! p: w7 Y& F4 U括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
+ e7 i' v* Q" U2 l/ ]卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
( J* o$ v/ H& p5 Z- ~　  組號 數 據 樣本變異
1 Q$ T' Q2 e& z, {6 f數


9 N9 u2 H. z" }) \
" y1 q( a4 P! L1 n8 p5 a( e
定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
$ Q. l  \) Z+ T$ ?5 S$ c# z隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
' w% N. K6 c+ x$ e限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
9 z) f3 U; a+ z# _2 u7 i4 Y括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
0 D, O" O' u, F　  組號 數 據 樣本變異
數
; {2 c7 l+ Z' g8 ^& i
1 X1, X2,……,Xn
+ G. Y# _# i! C- {7 S2 X1, X2,……,Xn
' o7 b/ B; O  C4 X6 y7 R: ~M 　 M
2 Q# F: \' \4 j8 m& pM 　 M
k X1, X2,……,Xn
6 ^- a) Z( o0 f/ w3 Y; R; H變異數為 。
/ v; }/ b4 ]% w% `& s" n# S
' u3 u5 |7 Z7 W( l" e7 G0 _
" I1 U+ S- k7 }/ `( ?

' j( u: P& t9 C# k* H( ]0 m