基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
$ w* X0 h( U2 t1 v8 g將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
+ F7 y# i! F* _4 |: D8 A& b* ]法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
/ R9 E- u* X" `$ J3 C  q- i: t質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
單元大綱
# w  _2 {& L2 w在本單元所介紹的常用分配,包括：
一、基本機率論
% ?" T: h( R7 H4 [二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
a. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
# u, I" k! y/ Y0 Y) P- y. Pb. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
4 P( D; ]  b% K* B# f. Ba. 常態分配（Normal Distribution）
2 ]$ l4 n5 o$ Q四、統計量分配（抽樣分配）
9 h8 ]4 t" {5 i7 J. Q; m1.統計量之抽樣分配
  }4 g; n' s$ n+ A3 e& Ra. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
# g( a5 ]! E& ]- J8 `/ X- \/ Y; fb. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
c. F分配
  N; N0 }" \0 I7 p8 n: E基本機率論
此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
( V7 D. R1 k0 Z5 e& t與未來結果的分析。
9 P+ A. u5 P. B母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
ex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
0 b$ v5 Q, _5 [" L2 T9 }8 d5 g因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
2 M5 j$ E0 b8 F  gex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
- p  t- {7 d" O( X取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
7 T) Y% p) A2 H( W7 ^值。
機率(probability)
機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
的機率計算方法如下：
P(A) =
5 G; x3 r4 x0 B& O( vP(A)：事件A的機率
9 k/ d2 L2 K1 s& O% A ：事件A發生的方法數目
+ N4 {% x0 R" F6 @4 E6 P  YN：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
& `9 c$ s5 \% V6 q& i$ ?5 v/ A況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
) C: C6 {1 |4 x4 W5 ]; e  n1 ^; c& z樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
( i1 s6 a" K! E* Z- l$ nP(A) =  =
! R: Y8 @& E  V5 @6 c5 x7 R單純事件與複合事件(simple event and compound event)
$ ?, W0 i* B$ a單純事件：無法再分解的事件
6 N% F! ^9 L" j& g" P複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
/ d. E! t! {* C) l5 d1 [1 ?ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
, t  g: e. |' ]1 d( xsol:
3 P, H2 Z6 M# q. H- q. t6 B：第一個電路板合格的事件
：第二個電路板合格的事件
+ S- [+ v, e5 }! b：第一個電路板不合格的事件
：第二個電路板不合格的事件
% N) m. _% j) e! n) S樣本空間S由四個簡單事件所組成
S = { , , , }
各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
0 r: P% x) L& ?) x& R={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
, {- W5 ^7 ~8 x( X: `1 w4 R4 t5 I7 r={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
2 L: A" S# `4 x* F, Y& d8 _設每個事件發生的機率皆相同，

' {+ S* h) j$ r, n
( F% r) w* W4 X) K
加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
% a! e/ F) ?" y( q4 z6 A# }乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
8 M& F0 L; ]# ]2 m. i7 w. k$ e獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
! r9 N; @; ]" \! x  d互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
8 U+ T" @& A% L4 T7 s∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
故A與B為相依事件。
" [& @1 }: ^0 V& ~. T* P2 z
例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
0 o( e" }5 H+ a% v, k+ s+ G板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
% b% s9 U! ^: t# X, J4 Ec.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
+ ?' h  F+ ?& w; n% f* t1 D: s4 Pd.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
, Q( R8 D+ E* b# n$ }2 ksol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
- }' _& d9 H/ i: t; Ia. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
! D  f5 e+ {- }5 J( R8 R6 RP(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
' B+ o: [/ ]$ \) f9 m- eP(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
P(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
6 h3 K( ~9 X3 V1 A! I3 Z" Ab. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
2 i$ I2 l6 y9 E: s2 n' |" J& J=0.0785
5 l9 v! w0 f2 n( q# a- Q所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
% j% N, @4 S6 l2 Y& O& S& _c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
8 x. f, h0 M. c# H+ P所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
" M1 r) [  l- c* j$ N)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
: I( c% ]' ~9 D所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
: W( o6 [* m7 o+ i! n  T, U8 Pe. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
! X' ~+ W& f5 \( B* `[ 中央趨勢量| 分散度]

統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
9 j  |) W$ R" ?4 v4 p+ A量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
+ n& W- k+ @. W1 P3 x) ~! q在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
5 H2 E* }: B0 g% ^# H( r1. 中央趨勢量的量測
2. 分散度的量測
3 N: |  @* @3 z8 H' C% t* _. q2 o中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
/ C* I5 f- z$ ]a. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
9 @2 R3 V% B1 p1 C* S= 。母體平均數以 表示， = 。
% E  D9 w/ `0 m% I. @7 F例題a
9 r: S0 J' _5 {, Z0 t9 h
. P. i$ @# q( G: W  o$ vb. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
* [, Q: x5 G; T- m7 z# V* n, J個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。

c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
! C! }4 v: g  d) ^截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
1 k' f6 H" J  f) Q  U8 Z: ~8 d9 m比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
6 @3 i- f0 v) Q9 h* C9 S7 i出現頻率最高的值。

分散度的量測
分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
: g2 c9 f( q+ y" V6 ?4 U$ a1.Range:在一組資料中最大與最小的差
4 }9 r; e6 G/ TR= Xc - Xs
. c2 v) @/ k- q* Z6 j* u↑ ↑
最大 最小
4 c/ |  X4 X- A# o) a. e2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差

EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
0 Y5 V* M) Z3 N7 b* B! J' r樣本平均或平均等待時間： = 分鐘
* [9 d$ d+ ~) b& X% e. I5 E- O! \
$ M- C4 U0 `7 y% J3 EEX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
2 R$ P' G) m. c. I* k52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
8 m3 Q$ @, o1 x與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35


* s! u$ j* z- O$ A& W( _5 a9 B/ wEX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
( J9 B, n2 D0 H6 K取30個樣本如下：
* V4 V8 w& x1 I5 P, e/ Z! j由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
2 R: d) ^( S2 Z% N* P120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
6 A, t3 u& I5 p3 P/ v; n. Z100 120 120 150 120 100 120 120 100
) u8 A6 s" J& ]4 v" L7 k! V
機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

$ @+ @# e* a4 b' |$ ^2 |機率分配(Probability Distribution)
) k7 ~- N8 `. `6 P/ O機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
' [' O. n6 K+ L5 R可分為連續和不連續兩種。
a. 連續分配
$ v4 Y: R! T3 L$ H- z, m若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
( W: U3 z' ]: ^+ }! ~& w; Yb. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
1 y( X5 c2 S3 L& w機變數X等於某特定值 之機率為
7 h* A, @, s6 t3 P* W  u! iP{X= }=p( )
/ {6 V6 ~5 F: U8 {


: X8 v7 ]0 [4 t7 B超幾何分配
# d  R; S4 L/ x- D3 {從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
# C! g# R$ f6 a2 R& D* }. W如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為



! P% Y" B* a3 Z8 H若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
5 F7 B# P' Q6 h+ w! G* K, bDistribution）
6 j% Z, a$ y. `) H. p! D


. E4 L& A# _6 b8 V5 v二項分配
1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
/ N2 U$ `8 h5 [# e7 W, S，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
7 }$ f3 f! c4 C4 ]f(x)＝0， x＝其他數
則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
2 F% c" w, m; F+ k; V等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
1 {- H; K4 K) {( h試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
- O; i8 x" b7 U% o" O假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
+ H, l6 ^& L! X- l& G, n1 `* X此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
+ r+ H4 x* j8 U3 t) Y1 ~。
超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
/ [% v1 J# P4 ^9 H6 u7 Y1. 群體批量為無限多。
6 a& r2 @" o' b+ b6 A2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
6 Z$ B1 g( I, g2. 二項式的展開
0 c7 c- T4 _$ P) r
: R0 g/ F  R  f+ @9 W) |

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
6 ^  c. Q9 a+ g. o; y5 a+ o0 S3 Zn：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
4 q; i% n7 Q7 l$ T8 u3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
; i" i" |+ v1 ~; I) d$ M& w- y* e變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
; _  I' x! U) l4 Bp：群體不良率
3 L$ S9 J1 t+ N% xq：1－p
+ R. [* Q0 M6 t6 z6 \. _
1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配

; m% ]. `  U; a6 j1 ?6 e
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
" i+ w3 f. d  S" _; o卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
* h* [  W8 T; ]* D5 J形：
a. n ≧ 16
0 ^$ X( \  J/ A2 h* [' Xb. p ≦ 0.1
$ H1 v- m2 m, q- L/ Nc. N ≧ 10n
" j$ t+ p7 c+ O; f應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
. C% A7 e$ V3 E: T# Ta. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
& u6 x8 ?* \( V2 h/ I+ q* A! ~等。
9 S( [+ o1 \* u! ib. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
9 \$ H0 }; ]8 M8 ?. a% X# B/ W平均數：μ＝E(X)＝C
; \8 d1 o. W) t# ^) n  W7 i1 G; d變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。

常態分配
; f& d6 T  i" G$ e+ X1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
) A/ ?4 A3 n7 \; ]: U7 }b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
, D" N/ G2 v2 z1 q- }3 X$ Y  Yc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
9 L& C5 J. I+ md. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
1 g+ V, k9 n* D* |* V8 U( je. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
4 D, \0 V  N" A! u2 V0 z  jf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。
4 h. R- f, R  F/ V- q* l) Q- Z

3 E  K7 o  i0 u- Q4 T2 O, J( Q7 k
3. 標準常態分配
; y( f) R8 s8 T4 d+ @8 G為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
: X0 O( H6 F8 `6 k+ L. }分配(μ=0,σ=1)：
9 s) l* E. X2 o經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
+ I! Z/ _/ S5 E5 p" h， －∞＜z＜∞
6 U2 N% l3 M( ^$ m! n由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
4 m# @& u( L) J7 ?1 k8 }- \之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。

' p( E7 J# C, C! l3 x* ]
# g/ B; g/ ^% H7 s# v) }
4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
5 O8 H2 T: E( b+ ?% I" a2 b% x" T中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
! o3 l/ l/ @: w1 K5 `品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
& M$ I- b5 n/ y' s+ K. L。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
) E# r; T  O) D( y. x/ L" H5 M6 M" H此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。
/ @. U. [7 O5 m; _5 p* M
常用分配間之關係
- |# ^  ]5 d9 z超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
( y+ ^6 _; u+ ^& l8 H1 V+ ?* u明：
9 r5 H1 F' V8 b7 v' H1 W條 件 實 例 可用之近似值計算
, H5 p; j1 I$ F" |N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
4 w4 d9 @& K* @4 D# U7 y1 n( G/ ~p≦0.10
0 a3 y! n) r* T& f9 W7 Nnp＞5
不良率在10%以下，n很大，但
不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
p＜0.50
/ T5 _1 \( ^1 wnp＞5
( z" l2 D1 q. k. p  |不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
二項分配→常態分配
np＞10 樣本數很大，不良數有10個以
0 F; K( y2 d8 }7 I上時
( ~0 h% p: ]4 Q4 J卜瓦松分配→常態分配

+ v! y4 V5 D7 K4 O  A( P# G抽樣分配
) s) z8 e+ \- q3 N. U, x. \% {& D% l[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
: U* E6 d, q9 R由樣本去推測群體之特性或相互關係。
1 |2 S' }+ E  i5 J
: G% z) c' D; A6 d+ b
0 P1 b3 q* \8 _0 [+ o/ o
1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
數，則
$ G2 J2 f1 {+ e

# A! ]+ m) b$ Y3 h4 u! H3 ^# t
- C2 x! ^9 h1 S! f
' m$ W1 P; l  d) l  g
∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
( R: i8 [8 w! A6 J於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。



例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
/ @2 Z4 Q" A* o* ]5 N3 n5 [Sol：E( )＝ ＝30
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: ~+ z& t( c  ^: @
5 H  G# O; C" z" y/ V6 W) H; c
9 N% L2 u8 ~: n. L* g2 c


各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
8 A- `7 |3 y/ t% h" N3 z# t! L
3. 樣本標準差（S）之抽樣分配

8 N: P- j# g  B" u; t% H: p
0 e  b: E( W) Q% t
" E! d. |# R) p* N5 \各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
+ H6 f% ?8 k) m- w5 B
: C. I% y. Z9 C- P5 m3 \% P+ l( B4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
" |) J6 v3 F2 gM 　 M
k X1, X2,……,Xn Rk
　  組號 數 據 樣本標準
差
7 C* F+ Y  Q, Z: [" p) j( O1 X1, X2,……,Xn S1
/ w9 u: s/ |  P2 X1, X2,……,Xn S2
, Z: x6 b# Q, bM 　 M
M 　 M
, T: L/ [& J; ~: x( I7 kk X1, X2,……,Xn Sk
# r; n' N- \1 l2 G0 I0 |6 F" c, Q
* ^8 y6 N! k. f+ SE( S)＝
: O. \% d, q/ i4 F" O5 W各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
7 K+ n" g. u* c8 Q不是一個常態分配。

& e, d3 Y  B& L5 Z! P
定義於常態分配之抽樣分配
2 Q$ U: W9 R% i! N* _假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
' a  W/ F$ K$ x) Y括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
1 w' \4 ?& U# V, I( u3 B+ F6 ?卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
數
; J% l9 b- g$ c" N2 G5 ]: g
' D$ \6 \2 L- o# }
% _# k+ w# [( {5 V7 l

  g2 u" i1 ?( y; {8 w/ r' L定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
, g* d9 P* s; s7 g) s5 K括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
5 u! ^7 q8 o2 s假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
8 S: _9 I% I: B$ {' v( C6 y數

1 X1, X2,……,Xn
" A$ I" E0 R3 O0 H6 v8 h. G& K2 X1, X2,……,Xn
M 　 M
M 　 M
k X1, X2,……,Xn
4 h8 V- g5 {& x9 F; G變異數為 。
2 {4 [( J# l( g

6 }1 h! }0 b" v) B2 g1 V

0 P' ]6 m# M! S- O, e
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