基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

5 b0 H# S) C  j, R4 {

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
$ }! h! I) K1 ^2 }( h. H. {法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
; T4 \4 @( I4 i- W: L# [質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
% |( h* l2 [2 x8 _, g7 i顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
( Z- D# z5 \! I+ Q判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
( n3 Y9 ]/ Y" ~; A% H! p單元大綱
在本單元所介紹的常用分配,包括：
一、基本機率論
8 v1 e( g; W2 S二、數據描述方法
# E: \+ n- K& q7 Z6 H三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
a. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
b. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
6 {/ e7 y1 }% I( }9 J2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
四、統計量分配（抽樣分配）
" M, _& E- j) l+ m: y1.統計量之抽樣分配
' e1 e( d6 z$ P- D* I6 da. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
1 P7 [( q% N+ G2 S7 ^4 ~% [& J/ zb. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
0 t' b, @! N# U- |2 V& ~! Ua. 卡方分配( distribution)
) I( [. ~" a; T+ H! v% R6 U5 fb. t分配
( Q: e" b; J# S+ t3 r" }/ C3 w9 Yc. F分配
基本機率論
此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
/ F6 c5 O1 N: f& l8 b& h7 k. }母體與樣本(population and sample)
5 W# ^% z* L- U9 [# \$ I母體(population)：一組包括所有項目的集合。
ex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
* L/ x; p, O) f- Y, M( H! a# L所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
/ E% i+ G" c7 E9 _5 \2 w4 c: Wex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
取500個。
9 R6 H% h$ H6 R參數與統計量(parameter and statistic)
# q2 q: B( c$ D, q5 j參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
, M7 d: \& T8 r6 [6 Z9 P統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
2 P! X1 M  a5 }( s6 B3 Sex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
% R% h7 L! v+ v8 e3 v6 N/ |值。
3 l! h( I, A# v( r' w9 W機率(probability)
機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
# Y! ?2 J7 x3 V1 B4 z! ]機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
* m' K" P  p+ ?3 n的機率計算方法如下：
P(A) =
1 ^) p, e2 z) J  ^P(A)：事件A的機率
, @/ Q' T$ f3 c& t  Q: X5 Y ：事件A發生的方法數目
N：樣本空間的點數
) {: x' |& l+ m4 Y+ I這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
6 q! O( @. |1 x況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
# M/ p2 o  s! p2 j$ yP(A) =  =
+ r! o; u6 M& v$ T8 W6 ^單純事件與複合事件(simple event and compound event)
% d6 f) R% a7 C8 _3 @. f( w單純事件：無法再分解的事件
6 f$ y+ ]$ P; I複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
# P) [" q" h! b5 G2 w0 I) _ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
" w( u6 z/ _0 o2 P! V; t! x1 R事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
0 x! X. K" I1 ?. P( ^sol:
9 x! N+ W8 U, K& g- v：第一個電路板合格的事件
$ ~# O0 k# p- K6 ]4 X6 Q) ^：第二個電路板合格的事件
5 X; j% K$ Q# }( w：第一個電路板不合格的事件
* ~) d0 d/ @: o4 f* G5 s：第二個電路板不合格的事件
! I) l, V3 O! n2 V4 K+ u- \# O樣本空間S由四個簡單事件所組成
; W2 W; B* G) ?( a& o% ~S = { , , , }
各事件可以描述如下：
/ r3 P+ ^. w# P! {={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
/ l' B) w. B; `. f- W5 k1 D! m* |={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
2 o' x% f5 O# X$ d設每個事件發生的機率皆相同，
# h' B, j7 V: Y3 B/ O. S# o
8 k5 H1 u, k7 [7 \, w8 F) B
5 p# ]) F+ J/ R. _" j8 o# G+ p& Q
加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
5 ^# B5 O; ]* K% l" WP(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
& w3 m5 Y: y8 u$ e% q5 }獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
2 j' \/ G% j8 _- N7 u" x立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
# s/ W; T% L2 v5 A4 Q互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
故A與B為相依事件。

. R- {1 ]. e: ?1 E2 _, s' t例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
& V5 d/ P3 x6 c& a板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
/ ^. h% [4 f# U; r# _a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
7 J3 ^8 a! T9 m: I! k正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
; g/ @1 Z5 p( @" [P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
) A% \8 k6 T6 e- ~  WP(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
' y$ b4 d' w# Q; q! KP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
! C; n& A8 X/ a) q2 P" ^. z' C- q) K=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
* f* |7 l% E5 @% a. i2 V* |1 s, o% C所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
% c0 T$ A" K, k) v7 jc. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
) n; \' i: w8 R( U" W/ H所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
7 d* C) J( [  L5 w$ q)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
6 P7 c3 H- o0 C# r. O; s所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
" y; Y  }  l5 U於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。
9 W9 W: v; W6 M. _
9 b7 l- ~7 n3 W: g數據描述方法
[ 中央趨勢量| 分散度]

統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
# j, z+ H6 [0 X. a% p量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
$ K/ J( y/ C5 w0 V% l6 I1. 中央趨勢量的量測
% C6 v4 @- p0 ^3 `( `5 Q& d7 R2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
' W. @5 `% Q) Ja. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
" ~! m2 y2 U* s6 l+ j= 。母體平均數以 表示， = 。
例題a

( t6 O3 o% ~' x9 t8 [( Hb. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
, [  U! x& e8 w- i7 x' [個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。

c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
/ M6 H# a8 D# n8 Q- ~截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
! y* s, H2 Q$ [  K比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。

分散度的量測
- t2 p* _6 |7 U' r6 k分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
2 O0 r) U3 _! v. v. \( Z1.Range:在一組資料中最大與最小的差
$ k/ E2 S9 L- @. N1 V1 qR= Xc - Xs
↑ ↑
3 G" d$ {# J: h- I4 Y+ c, y最大 最小
2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
( H7 H! W4 u! J/ I3.標準差
8 T( M5 c) |$ J$ z0 \+ [2 C
EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

' @6 W$ @& t1 y+ ?EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
2 o! m" ?# Y7 H4 B; U' M1 V52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
: H, O* |/ t, J9 y與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35
& b* ?; x# d+ u- i6 f

! U! V& {) ?" @  x/ _EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
100 120 120 150 120 100 120 120 100

* f) z0 G. F4 i$ w7 ^  j機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]
2 ?( v: ], W& W: T+ y$ s2 R* e
$ n9 E. e& l9 o機率分配(Probability Distribution)
0 {7 l3 s. z1 Z7 D( _. ~5 b% {8 ~機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
可分為連續和不連續兩種。
/ ~, M6 i; \5 F" Za. 連續分配
, ?  {  U# e. S& A( [- Y若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
b. 不連續分配
3 r) H, ?/ q: n: O& A$ f若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
* r( Z- C2 `' S' N0 z% [0 D. x7 b機變數X等於某特定值 之機率為
8 T, v' T; z, ~7 ~5 tP{X= }=p( )
% k5 r9 P* H2 u, H$ j5 G- t
9 P! I: T$ d9 Q4 f1 `/ `% D

超幾何分配
從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
; J3 `! j+ a0 F) i2 y如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
* @0 C9 d5 U) U1 U9 A7 z; c% S機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為

- F; O/ B! e! Y; g0 i
1 P; {+ j8 L& Y- P
若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
/ u: r# H: i: E$ w. s0 [3 M0 H5 VDistribution）
! U5 t% V" A/ A* a) \


二項分配
; C2 M4 _+ A' n! a4 u" t1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
f(x)＝0， x＝其他數
則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
. @: q6 G7 t; t1 P1 ]& |試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
  H$ r7 `* F7 V: Z! Z* \假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
. [- ~1 E( @" E% D2 @  y# v, e此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
. Z1 M3 l5 h, y. ]' Z) J% b。
超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
8 Z0 ^# F4 E  z$ I3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開
6 ?/ P8 f4 e3 H( O& A: q
0 M: `5 N; N1 F4 k

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
n：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
3 X& M# ]! [7 d4 x( R4 f3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
q：1－p
  i" X6 J9 N/ A
1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配


則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
8 I1 A4 D: M3 X8 F1 `卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
' B5 H( I4 M- o( Y- @形：
* u  H& B1 z7 _9 Ca. n ≧ 16
9 P7 m: A- \5 K5 B1 eb. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
- v6 Q  o3 j2 h等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
; D( N5 r* h# n$ U變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
( Z# Y6 z3 a5 G! y知，則以平均缺點數代替之。
; q" y8 v* j. w& L6 v6 M) P, ]6 `
4 p' n& O$ P$ w8 ~; \常態分配
1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
" M& x- ?. P. U" O2 c9 D2. 常態分配之特性
9 f! N4 B$ d  @a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
6 e( Y& U; Q% C+ `值等
b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
- s1 T0 S- X/ Pc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
" C  q0 y. p3 {, ~! Gf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。
" ]$ \$ z" V; B* _6 K6 c

! T, a" a- v6 l
9 h( g5 ?8 F) i+ j; ?: r& Z; S3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
分配(μ=0,σ=1)：
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
' z- A* j) @/ k) d' L& ~， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
. w* r! U$ z& ^
  F! e  t& [0 b- o8 C/ s1 ]1 o0 x
* W4 Q0 `, x' k+ d
7 I: `! y: G: B4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
* j" f. A8 c/ k9 \; |中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
; B3 _! X1 a. v。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
; s+ x6 H5 o% f! H% }此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
. L% D# o+ |, C超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
np＞5
不良率在10%以下，n很大，但
: Z5 f5 Z4 v3 A# N" q不良數不超過5個時
) M) I( K# r' f( i4 I/ D二項分配→卜瓦松分配
) c8 O9 J4 W1 e8 @( k3 @p＜0.50
np＞5
不良率在50%以下，n很大，但
0 O$ w5 V. A" P不良數在5個以上時
二項分配→常態分配
0 c- d: j/ M, I& y7 y2 ~4 B- tnp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
" q! X; a# Z3 b: }& c  y上時
卜瓦松分配→常態分配
! z) L' g3 V/ y! a, I$ M  J1 t9 p
$ S3 ?* [6 h* O6 }! W抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]
$ ?/ L+ D: j1 ^' g% w' Z
2 W! _# a) ~; r! f* s0 s統計量之抽樣分配
: P  N% Y: `  ?在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
  p% v. U+ J9 {由樣本去推測群體之特性或相互關係。

) Z6 R7 j; z1 ^! A: u

1 u$ f" l# {) d3 T* T, b( o1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
7 r- V. |! I" ~; Z數，則

( e' W1 v; U+ x% _3 D" A# t, J

, i0 D3 M% n7 S$ y- z: F

4 g5 j( L2 g' J. ~0 o8 @; t∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
1 [6 L3 j9 Y( @* [% y


例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
V( )＝ ＝1.8
" n) V4 D7 D- i& g# q% a
. w# ^) x8 o; ?7 a) l: p



) c* D# ~+ ~" n* C6 C: o7 ?各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

7 W, {, ^2 N+ m# j0 ]3. 樣本標準差（S）之抽樣分配

" d/ H5 E2 \9 C5 p! `/ U# ^# |
, N! L2 b) ?$ z$ r
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
$ s/ @) X  O9 C/ t6 j, UM 　 M
! M& a! U& Y& V8 j) \: nk X1, X2,……,Xn Rk
0 @% ?4 u1 u& ]8 S( P& e　  組號 數 據 樣本標準
差
3 X- Q+ c/ y3 `: F1 X1, X2,……,Xn S1
2 X1, X2,……,Xn S2
/ @# P; ?2 v: N7 ~, N8 Z6 s7 mM 　 M
M 　 M
0 P& C3 ~. A" g- `k X1, X2,……,Xn Sk
! v+ S1 z( m; V+ |8 f
E( S)＝
: h. c  e! b$ T3 F5 x+ k各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
; a8 b2 u, X$ p4 x% c不是一個常態分配。
# l. W! N: v: d7 |. r2 O9 s

定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
# p( _' z4 D; H0 V% R" V* ]限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
4 ?9 `  q, @4 k# b& j抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
$ F' {2 b3 }  Y2 h( r卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
! p9 k# Z  l. V　  組號 數 據 樣本變異
2 r: _2 s& P3 r; Y: g3 Q數

2 U; Y0 }. |9 }2 `" Z. W- t


定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
$ B8 u+ f9 N  |; c/ l限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
7 M5 |! P5 _7 [' F8 a3 `2 m括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
* J( i, |& {8 B卡方分配
3 g) h( `; X% @1 e% y& c假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
' X. k" f& O) l- M" @　  組號 數 據 樣本變異
數

, ?" N0 d/ T7 ]( V4 v1 X1, X2,……,Xn
1 \+ a' {! m& o+ f+ ]; E2 D* W+ T2 X1, X2,……,Xn
, a3 C8 t9 [% B& `5 dM 　 M
5 f/ x1 O2 n9 f  OM 　 M
k X1, X2,……,Xn
變異數為 。