基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

  T7 E- G0 y! b5 o  y2 V8 @

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
! c, J3 A+ N9 j, ~7 Y+ ]法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
" ?6 Y' l& S  K顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
* d, n6 ^1 q6 k" l2 o, Q有所了解。
# _% @/ u5 k* D6 |單元大綱
. V$ P8 H- g7 H) V6 x& D& d在本單元所介紹的常用分配,包括：
一、基本機率論
( P+ |' X- S- D+ i0 n; c6 B. S1 T- q二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
0 @+ ~# A) d5 G) J7 A. Y1. 不連續機率分配（計數值分配）
a. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
- [4 P3 ^0 |. w* T/ Tb. 二項分配（Binomial Distribution）
( B6 [$ y% z' v+ R( p/ Qc. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
9 u. t* h# ?! w/ Z# M  [! X7 j四、統計量分配（抽樣分配）
% t$ J5 \* Z; \$ M) n5 I$ r1.統計量之抽樣分配
% e; M3 _5 ^' L1 _' U2 T5 w; k! Wa. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
1 }6 V+ t$ c' T$ L( bb. 樣本全距（R）之抽樣分配
: h# F3 D5 s  y  F! d+ w( Fc. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
4 C0 O2 {: L: W$ \9 y/ i6 i! U) U- rc. F分配
基本機率論
( M! C9 W+ }9 r此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
, ^8 R# f# S. Q/ x( ?% \/ g( D8 ]0 Z) u演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
: d, C2 e" n7 X& w9 d, h母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
ex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
( p& C& b" ]0 O$ R% _因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
4 K2 R% Y! a) b% E9 X! g頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
8 @3 a1 }$ k. c' Y7 A+ B資料來代替在此時是一個可行的選擇。
) d* A, h# {3 M& @2 cex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
取500個。
& f" d" x0 P, x& \" X' F) k* A$ ]參數與統計量(parameter and statistic)
. m! A8 E, r( y. X* U參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
2 g/ f! Q8 b' \6 u8 [ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
8 z/ s' {0 P* ^8 a  K統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
值。
: x. C; @3 ^- [. N; V, O+ O5 E機率(probability)
$ R& Y0 z  Q; F  i. R機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
' X, g! p0 g9 o' ~3 R機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
的機率計算方法如下：
" x6 L% o/ |; K6 p( cP(A) =
" l! i+ i, P; q; q" CP(A)：事件A的機率
* B5 i( n; W. A: U/ p( _! `! _ ：事件A發生的方法數目
N：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
' D+ }! u  q* Nex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
- I9 a" i6 L) I假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
P(A) =  =
3 n8 w. O) V! r: I8 @5 |# F單純事件與複合事件(simple event and compound event)
單純事件：無法再分解的事件
複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
) X! T8 e+ `. [, h' Dex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
3 X- W: U0 U" u$ b事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
$ ^6 l$ h! }' U8 U, _& _7 bsol:
：第一個電路板合格的事件
4 g% Z0 G4 X. a6 X/ Z' R：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
) }3 F1 F+ F1 q+ J3 f- D：第二個電路板不合格的事件
( e" x; ~0 ?2 k& p: G樣本空間S由四個簡單事件所組成
) [5 Q; E1 T, zS = { , , , }
各事件可以描述如下：
0 ]5 ]% t/ `) ~* W: Y- }( w8 x={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
" m; i' \* k7 j3 I={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
# m& ?8 r' E* Q5 e) D$ I! P如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
設每個事件發生的機率皆相同，
6 c2 i$ z. j8 f3 ^3 i. s/ A- t

9 N$ G" X9 t. ^0 T6 O
5 I# `: A. Y. z% ~1 A( l. _加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
& v$ @" Q+ Q' K6 i7 xP(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
% Q. v" C; N# j5 c9 Q獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
  b0 w2 }6 M8 ^8 m% Q1 i% B立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
3 e) l3 r9 v3 f" O* j7 S! p; `: t互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
$ {6 e, N$ a3 `/ P2 L7 H" |3 R∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
% R/ |# H: s# T0 H( P) d故A與B為相依事件。

例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
7 r2 l2 b( {. _1 b! q2 t5 r) @a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
$ W  e  }5 t1 Fb.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
; h% s5 a$ u  r* Mc.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
, b# n* ?* u" {: l' ^7 D# d5 zd.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
1 Y* I# H, Z+ }5 `3 p. y) vf.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
) r, A% n6 J- @9 m2 U! t; D/ s1 K7 }a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
  K/ {3 M7 Y5 K1 _1 `: a4 o/ s7 tP(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
' w- P9 S" ~5 a1 K: E5 L, D3 YP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
0 K: @. e* l0 Z) Vb. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
+ {- k* S# y8 i' ~, |/ A  g$ x=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
- @) [* o; t+ M& |c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
" ^+ I  |5 e3 dd. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
+ T( o8 G% |0 s' m' Z於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。
6 T) Y) I5 p! I+ X  a% N7 m2 j# A! T
數據描述方法
. [8 r0 J0 t' k% x9 J9 O( {[ 中央趨勢量| 分散度]
( {! B0 C5 O: g: O
0 F  q& I5 Q; U$ w1 J$ H統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
. H7 Y( J# t9 J: I* `8 l/ F: ]敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
6 {& p7 a, r- U+ c# d量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
1. 中央趨勢量的量測
7 L2 l+ i$ Z7 x" i2. 分散度的量測
6 @  z6 |! j/ g$ S8 ~2 r中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
4 @; }0 M4 S( O' v0 ~% z決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
& @- J7 [# r0 P5 Za. 平均數(mean)：
+ \/ u2 x3 A: V平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
2 s  o: c( Y  O3 Y1 T= 。母體平均數以 表示， = 。
例題a

b. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
# H& D. G' {  L- M
2 S! ]1 z* G& Fc. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
$ ]- ~8 }6 K( a' O+ J9 D截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
1 b' E3 G8 I4 o* p出現頻率最高的值。

分散度的量測
分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
1.Range:在一組資料中最大與最小的差
1 |( D1 W: F# g5 h" |R= Xc - Xs
↑ ↑
最大 最小
2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
6 k( N7 N, H( ]  p3.標準差

EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
樣本平均或平均等待時間： = 分鐘
+ ?. b+ u$ `' R1 F2 L
EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
52.5，請問中位數為多少？
: `# l/ F, l) Ysol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
/ d4 x7 P  r5 M1 M2 p3 X7 Z與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35


% l% Y; ?3 }8 m' B% @EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
% d% k  m/ e) [0 T) q100 120 120 150 120 100 120 120 100
/ G/ \! u* F4 \
8 S/ P6 E$ f5 y, ]8 _, s; |  ^* R機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

  Z7 ^% T" ]: @5 P機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
可分為連續和不連續兩種。
$ S6 a5 h* o& F) A* ia. 連續分配
. q( K7 |4 z; v/ v$ r1 P' w若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
9 l) j1 _& L$ B3 `# EX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
  P* y0 {' ]) N5 a$ t: ^% [b. 不連續分配
2 o' z/ X. L( H9 l若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
5 z" B; K! x) Y+ L機變數X等於某特定值 之機率為
P{X= }=p( )
% f% B! N# V  y% F  k  a9 Y

* w8 c2 B" J$ K1 F
9 w5 K! E# {" E$ y9 E超幾何分配
. b7 r4 d( t, s4 I1 Q0 D從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
2 q% [  S0 L$ o0 S+ y5 G如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
8 E1 ?7 b2 B0 w+ S& a/ f' J機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為



6 B; S; M% i( Z! H若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
+ @% h7 ?' A) g+ X% ]Distribution）

0 A& s+ \* {0 N3 |
; ]* q0 r0 R4 ~/ r  C0 f) |# W2 K% H
: N+ z# Z  |7 p3 Y# w  ~1 x0 k3 M二項分配
1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
/ H8 `- r/ m6 m, t6 O8 O，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
2 F( V2 u. f* S8 q8 c) d4 @0 vf(x)＝0， x＝其他數
- S- H% ?1 _. [, u/ d$ Y則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
) s" b* w! `2 W; X8 V+ I6 {等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
6 W% T4 C1 l) t: ]/ i4 b* V. a試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
5 d0 T' |1 K8 }4 X1 j下：
9 Y9 j- ]$ p$ \9 e6 H假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
, z1 L2 t/ S, j& e2 H此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
& ~  U7 K7 c1 X- q% h。
超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
+ A8 {7 Q1 m# q2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
: K. O' R4 p3 H' _$ h0 i/ _2. 二項式的展開
7 x+ V! A$ K' \4 R- h. ~6 m
/ l. K4 f: r! i8 s8 @3 J: j
3 `# S) f+ @- _5 a# @0 R: `9 w! H
8 ^" o! K1 p8 q( O% S. ~2 J# ^9 hp：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
" |! F9 T. e% Y! M( Fq＝1－p：B事件發生的機率
( a, Y# L9 P! a' @n：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
5 n! }6 t. _$ o5 J" H4 E" a變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
q：1－p

, l4 t3 i; B# a. u7 v& \$ M1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
# c  ~) Z$ R  K9 y
) R) f1 _7 L! J( O) s+ b3 o+ N
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
: a0 c6 w, @/ A, M卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
; h7 I' i$ L- d" z, {+ h7 @形：
a. n ≧ 16
8 N* @" g4 f8 Y6 G/ M: Hb. p ≦ 0.1
4 h" P9 q! y- pc. N ≧ 10n
應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
  i* \7 w% z7 h5 t平均數：μ＝E(X)＝C
; ?. k$ `% b& x! s變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
0 N9 u1 a- E& O2 b% x) V* a知，則以平均缺點數代替之。
1 Y' G8 C8 V( r0 T2 U
常態分配
, h+ b  ]4 K8 X2 S3 \5 ~' f3 [1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
6 P- i1 c* Z5 }& D+ k－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
0 S8 R0 X' M  }+ M# h8 K) ]+ K* H/ @則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
3 Q; u/ y, {7 F1 m2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
c. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
: t" L# ]2 |( j7 r7 v% |d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
0 L& [6 [* ?& X: Xf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。
/ q2 x( Q7 H- D: z

+ H2 E4 [7 i0 ~3 n& s
4 f3 P* x$ |4 b6 t. `/ d' e3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
分配(μ=0,σ=1)：
: ^( z- I3 N& s+ T. U* j# U! D經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
， －∞＜z＜∞
! y% e- V2 \" N4 r由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
2 l) s6 A/ \. |! n* X$ R

" b& P8 l( |4 z0 _: z" W) r
/ k# {3 B' K1 ?4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
4 {$ _  ?. y6 E; k3 n中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
; S1 v: h# Y% P! A品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
。
% |4 K; E3 o( o, @; E! G# d' j當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
# [2 }+ Z# T- A# H/ m在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。
; V) T$ P3 e' _' E# i3 o) }. p
常用分配間之關係
超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
' |7 x( |4 C, K8 V- U4 d明：
- A2 w# `- ?! V條 件 實 例 可用之近似值計算
N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
np＞5
8 ^+ P# S" m" y! E, [. c不良率在10%以下，n很大，但
5 a# {3 h7 e6 ]' O: A不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
p＜0.50
6 c, t2 m6 i' D5 ?2 ?, Lnp＞5
0 t" ~# d6 D/ ]0 ~$ T不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
$ R6 S! \  Y4 q- p8 b二項分配→常態分配
; F0 W$ w& ]; a( S$ R$ v0 o" l) vnp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
+ ^4 ?) J6 d, Q卜瓦松分配→常態分配

抽樣分配
/ u" {' D4 V5 P: J; U2 {/ s[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]
+ w; w4 I& q: S7 E, M. H
, I8 C* `7 D) O9 x5 P統計量之抽樣分配
7 {% U# ]* R% U" b2 [在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
4 j5 i9 ?0 H5 w& c- c  `& i3 ?無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
% t; H" z; u0 @9 s由樣本去推測群體之特性或相互關係。


* V8 }4 K$ W7 i# }; f
1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
, X0 y! r* W, f假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
數，則





* \1 |9 I- B7 u7 o  k∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
9 F2 n" R' A) b& I! [5 A* x
3 N" v" Y/ K* x+ Y

例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
+ j% B% M0 p; I+ \. O5 r9 h構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
8 T9 p7 e4 a: a( Z& \Sol：E( )＝ ＝30
V( )＝ ＝1.8

8 @# Q9 R+ R$ f( D; J


' j3 v, F4 u9 t$ B4 w+ d# H
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
, \2 k$ T+ a7 t7 e( A# |" Z) x
3. 樣本標準差（S）之抽樣分配
9 }; F2 F0 a# D7 [

4 l6 _9 F# L2 ^8 P/ c
1 w- `9 E3 x! p! K6 S各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

6 O; a( a% u6 p+ @- W4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
% L  L+ @# l& c8 \M 　 M
, C* N* D) o/ a0 J5 O1 X8 qk X1, X2,……,Xn Rk
; T/ H4 R3 q2 R9 n' S  T8 o- x( \　  組號 數 據 樣本標準
/ c% `- M' w# L5 Y( @差
1 X1, X2,……,Xn S1
2 X1, X2,……,Xn S2
$ ?9 [6 n7 j/ ^; AM 　 M
M 　 M
4 x& n/ d' S! o. ?+ Q/ ]  E! s. xk X1, X2,……,Xn Sk
7 V) h3 c/ H7 O  i8 }/ i
E( S)＝
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
% G8 D$ c( L! ~  E" a不是一個常態分配。
4 Y2 D. p  ~& I
8 z+ i3 {8 |7 \+ J& M0 k
定義於常態分配之抽樣分配
; r5 C  k# G' k) A' y4 p假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
% u: e% O+ V! X- v/ Q3 k8 c3 @1 k括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
& {& I; L' g+ |$ O: J4 F* P假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
) `1 V" F2 V: x0 |0 R: @　  組號 數 據 樣本變異
數

/ j! v# R4 J3 f( W, x$ ?- U* |$ S
) X$ }, D2 w2 Q/ n
( `; L: j$ H$ i
% l* r5 F7 n2 W( j9 y定義於常態分配之抽樣分配
3 r' L# f8 ^  z# M3 a8 t( f假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
! S* S) G( q& h限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
0 g! Q* J/ ]& h- W括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
( ]0 e  P' y/ w1 I卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
% j% U0 Z& v1 y數

  G7 c# v! r5 X1 X1, X2,……,Xn
2 X1, X2,……,Xn
% n; \8 L+ n3 }) ^1 c; _M 　 M
M 　 M
7 S- c, R' |% Z; D1 i0 Xk X1, X2,……,Xn
變異數為 。

9 R% x- X1 k: w# C

2 u7 F3 e' f& V2 ]2 m4 `8 h8 M" u