基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
7 I- W! S, v5 q! U, T將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
7 _5 \2 d7 c  p; @, l+ j8 m法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
單元大綱
) V6 Z/ }( X1 w) g在本單元所介紹的常用分配,包括：
3 |7 M' h2 ?! l$ }# e一、基本機率論
二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
+ `2 l8 U8 U" @% h$ O. z. ca. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
" K: U. p0 G1 C- e5 db. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
& ]5 w4 \9 u: W/ _! _; o4 |四、統計量分配（抽樣分配）
% F" b% P* y/ Q  p8 b1.統計量之抽樣分配
/ _% Z" I2 x- s) @' k% b7 ^* Ka. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
5 J& h, P) f; C' @: _8 a3 ?) ]b. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
4 l2 M" j' t5 k+ R# s3 }d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
+ e  W% @2 O5 z# U! d* a2.定義於常態分配之抽樣分配
# ~' m' t$ [- \. u& c9 W; ^. Aa. 卡方分配( distribution)
b. t分配
6 [5 p  [3 W- @3 }: W2 W, Qc. F分配
基本機率論
' B. c9 S5 u1 z% Z此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
# _' I7 |0 M' q, l# B$ q2 |  ]演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
8 U/ p, f# Z" G6 o2 R7 T4 O母體與樣本(population and sample)
# Z4 `: ^& K6 d母體(population)：一組包括所有項目的集合。
$ c' ^$ `; R: {ex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
) M) [" V3 `  c; e. Z則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
9 F' _! L' o5 y. O+ c* y  w  F因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
: i$ ^* n/ g; R: k* f4 P/ J& R% v4 C頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
# J, l+ ]4 Z' l% O" Z" E$ [0 D資料來代替在此時是一個可行的選擇。
! v+ t# ]9 Q5 {: uex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
9 q! {' ?( a1 ]參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
" N' f6 c2 e2 a3 g+ Q% Gex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
值。
) v6 T$ p) ]% g" N2 [機率(probability)
機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
7 T: D+ w- E/ I5 ~5 q3 j  @, S的機率計算方法如下：
P(A) =
P(A)：事件A的機率
+ u/ E5 O* _  c$ Q( M7 p3 S ：事件A發生的方法數目
, y& Q! R- y4 M4 I4 l  pN：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
# |4 z9 p/ u0 w0 j' x+ ]況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
4 ]( G) V6 L% {4 j& d6 R假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
. ]9 ?# w! F- I+ ~( ^P(A) =  =
6 o0 A8 }7 |4 j& m7 \單純事件與複合事件(simple event and compound event)
5 n/ E: {8 L' G! K( X6 S2 B6 V單純事件：無法再分解的事件
複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
' L+ j" y# O1 @" S, ~: h) o8 |ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
; o! f  z/ v. k8 l3 t+ C0 o, B事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
sol:
+ T6 d( x4 f) n' P3 V! i& T9 i：第一個電路板合格的事件
% t7 n9 ]. ?9 F$ T; _：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
( x3 }0 E9 [4 u( c：第二個電路板不合格的事件
樣本空間S由四個簡單事件所組成
S = { , , , }
各事件可以描述如下：
; C" v; Y# I. q: K' I9 ]={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
" a$ U: O% R8 V={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
' p, }7 b% z) j* u' H設每個事件發生的機率皆相同，

- a4 \  s4 C( Q5 a4 {0 X
$ E, _: R$ N1 h3 \/ V, H
加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
/ F1 q( ~2 u  {' J6 y乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
" y6 ^! f4 N0 A8 @% E! K; y# S. A9 ^( \* EP(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
/ x4 d- Q* p$ T立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
2 V8 M; n' i* P' q互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
6 J  `/ I) {: H  N- }6 J∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
故A與B為相依事件。

; V8 g" s* H, Z1 X) x例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
# Z2 E/ E3 S+ G& j板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
' e/ M! h( A: Z. X# a2 z4 T% Ga.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
' O& i2 q( R+ Rc.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
& I% I6 A% c" o, k8 @d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
4 i! X8 ?* r; w3 L! KP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
9 |  D; w! U9 j' W4 E2 rb. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
, Q$ M, e- `* M$ Z0 e=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
6 `2 @/ d5 w) L' k/ m3 K0 Ic. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
8 J, ^$ i- |8 O! X8 h所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
7 }3 q5 h2 \* u( B: p, K, Id. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
2 J( Y' p: e* |! [: s, E9 P3 |* R; Ge. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
7 r' w2 Z3 |9 p7 R& }+ e於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
6 j5 i, T" M2 o, [8 h- n[ 中央趨勢量| 分散度]
7 r: T! B8 O2 B) |. B8 `
統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
/ u/ G* T- R, T& o/ b敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
9 ?% g$ j3 T. ^; z7 f' y- N在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
* U0 t  D* A( x( o1 |; T1. 中央趨勢量的量測
2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
. x2 E3 B; X, B0 ^) ga. 平均數(mean)：
  t% Y& f9 v' U/ y平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
= 。母體平均數以 表示， = 。
$ F2 N  E& w# Q" s5 g例題a

b. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
' D. c. \2 g5 @- w* }, K因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
" ]' l1 o, F+ C! A
4 K3 b5 Q9 O  g0 ic. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
) o/ r9 I) U2 u7 E比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。
! D% c* w0 \( s$ _9 W" H6 I
9 \0 g# E2 [+ E分散度的量測
7 ~0 S6 u9 A$ F5 x分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
1.Range:在一組資料中最大與最小的差
R= Xc - Xs
↑ ↑
8 W9 F& [# U9 d9 t最大 最小
2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
5 W6 y& \0 I* C* }) W4 O3.標準差
( e+ S6 E8 c/ C* C
EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
- T6 N/ n! e/ B9 e52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
4 Q6 @  p2 Q- {1 u9 ^7 @與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35
3 l8 i; e6 O$ _/ D3 c
+ }) H0 L9 L" `, E; r0 h
EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
+ V+ l$ T+ X+ o9 K0 X1 U+ y取30個樣本如下：
* k  M. _9 E9 {& N由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
4 }6 |- y# v5 T+ }! M80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
100 120 120 150 120 100 120 120 100
$ G' x. A. `( e, `
/ G/ t% z/ B7 r( \9 }. K機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

/ e% h9 {; O# C機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
$ _: q; r3 e# s可分為連續和不連續兩種。
a. 連續分配
4 @+ {9 o+ K2 T' {若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
. ~" e4 n+ }# F1 Y6 Hb. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
P{X= }=p( )
* O: d/ d9 v3 g) [
3 I5 a, h( D* d9 i
- A: j2 v  E3 K2 {7 F! o
超幾何分配
' U3 T3 y$ e& |, D5 Q/ N從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
7 v) M' Z3 ^# M) R機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為
8 N8 H+ u3 I; J

+ ?* o- @4 t6 D# G# W+ Z
; J* l+ B) d* a. J! n若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
Distribution）
4 n9 ^  I0 ~0 I! M+ w" y) Z. L
  T: A, C9 ?' m& ]
! d6 u7 K! Q& O1 d
二項分配
, T& _$ u7 K& M5 P2 D4 ]/ V6 @1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
f(x)＝0， x＝其他數
- V0 h  r6 \+ E, {8 J9 Q9 d; C則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
- G1 F8 c) {0 q8 n( q下：
假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
3 ]& L8 g0 k; Z  S8 C4 ?* p此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
% J4 y" V6 t0 O. S% T。
/ o# J4 e' j/ p超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
) o5 t; k, V9 H5 M  W三種情形應該採用二項分配：
* f, D$ o+ h3 C/ v$ L4 O1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開
; R2 S* c/ @2 W7 O* M! i5 K+ J
* u6 r. _7 C* a% _0 m! A6 e+ H- D

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
) `0 a7 ~1 J8 s/ Kq＝1－p：B事件發生的機率
n：試驗次數或樣本大小
7 ^% ?  M' q: ^" c% }9 mA與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
5 {( S/ }2 H1 m! {: l平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
( |  Z9 h  I2 |7 m! ip：群體不良率
+ Y) _  `1 c' _$ A! b0 @* Jq：1－p

1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
+ K0 \" _1 `) i6 s2 }( _' U: Z
/ n  s' G9 z) b8 r: {( j
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
0 ^  e. D2 n: n& e, D( L, X3 D卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
# K5 v  E5 C5 o; ^; L) i形：
; L" |$ p' r2 o) Ka. n ≧ 16
b. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
. q$ ~' K' k( R% a應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
6 F" M( ^7 `% G; I等。
; m9 s( G: ]3 W, k2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
+ s5 @3 q/ C% j/ R. i變異數： ＝V(X)＝C
+ X3 Y. S5 ~/ y2 e/ J- l% S卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。

常態分配
$ D: |8 F; H9 S9 O- ?& i1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
7 G1 c$ ], o/ I9 M# Q+ s－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
& ~' B9 o1 Y8 O則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
3 o" Z0 T- |9 M# x  l' J$ W2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
. u/ n# T$ j4 i. Eb. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
c. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
( _% ]0 ?9 S& u1 ke. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
) `7 ~2 E9 i8 p6 @f. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

  H; m9 G0 J3 O5 F; w
. u! m; S! U4 v: j7 ]2 l
5 b' d) v& C, D% Y" O1 i5 n- k/ I# H+ h3. 標準常態分配
. n4 x. r6 \/ _5 c9 P( s# m為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
' I9 Q/ z4 f/ a. e) p6 O% y1 _分配(μ=0,σ=1)：
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
9 ^  \; I0 y" L' I5 g， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
/ Q0 a1 J4 Y0 g- a( I: a
3 K6 p/ G/ Y1 K
/ p; H, f( o1 w9 M
4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
- b9 Y" O" H; H8 V+ e. ]) N! o品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
6 p& B+ q: P: k' O; x+ i。
/ |7 ]4 A2 O) S0 V( S$ R9 x當n→∞時，f(Y)為常態分配。
7 X# e8 S% V: k1 N2 v) R- L9 P因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
5 f0 D2 k. w2 G: G1 n; W8 D& j5 M此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
$ `+ N" W/ e8 {$ ~" D: _N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
; k4 o- K* D. p) X6 Xnp＞5
9 ~0 B- d( f  j' K4 Z$ g不良率在10%以下，n很大，但
' H; `5 k7 j- s# s不良數不超過5個時
! T  r: G8 a$ f二項分配→卜瓦松分配
  H6 n, h) L8 W/ W# a9 tp＜0.50
np＞5
不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
二項分配→常態分配
0 j; C( H0 {$ t7 S5 F, _% G' snp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
# X" }" J+ C& H卜瓦松分配→常態分配
4 K: C; W' R2 ^! c
抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
8 m- }% n2 B/ _6 {  t$ j在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
, Z! X& S: Z; g由樣本去推測群體之特性或相互關係。
8 W7 B1 ]7 a7 X' x( k1 {
+ u1 W2 T: b4 @9 `4 \# w
+ {4 B2 [5 e- \+ \1 ]2 p
( X* z$ d9 c. c6 d, W1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
. k" L3 m6 u* t8 W* N- i假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
數，則


% y& k( K2 J& N3 p: n9 Z
* ?4 i% l1 C4 S/ L

7 O! N6 l. `1 A3 _0 F' ]6 K0 i$ `∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
; v9 q6 h" E6 k6 g# r5 P" @於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
8 N' h/ }% L3 _, u' K


  K# {: Y1 S' R% d6 v9 n- i例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
V( )＝ ＝1.8

9 ~! m6 C0 W+ r6 H' Q& F* {



4 L) U( A$ ?/ H: c: n各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
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3. 樣本標準差（S）之抽樣分配

- n/ j1 p- {8 f+ Q) J
* b) C9 ?3 S+ |7 a2 c" }) w. i
2 o& \: H& M$ Y各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

% c# J: s3 z8 }) [7 ]" u5 ]4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
8 b6 m$ {* H* J9 h& K( sM 　 M
k X1, X2,……,Xn Rk
# k* ]" P, b1 C4 ?6 x　  組號 數 據 樣本標準
+ {: d% R1 E9 F/ q' G' N差
6 T) M8 q+ Z# P: w: L. k1 X1, X2,……,Xn S1
) K, T3 J. C/ X) h, ]2 X1, X2,……,Xn S2
; }' x+ V9 H" V; K+ L& X. NM 　 M
5 X8 n2 B- B5 t/ CM 　 M
" s. e  ~# D; Y* |+ ~3 tk X1, X2,……,Xn Sk
) Z9 X; F8 o! J/ S/ y( f/ C
1 g5 z3 _2 y! e9 o4 FE( S)＝
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
不是一個常態分配。


9 t6 `; D" m0 m定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
" Y% Z8 c. O0 k7 V! u$ r3 V括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
數
4 {1 j' y" A$ x8 a3 c8 i
1 h- M) p. v& ]* A$ L8 G  Z6 c0 u+ D

, ~. {5 h0 m8 B/ O
" @: K  R- E8 t: X定義於常態分配之抽樣分配
8 q# k) X2 z3 s假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
4 e' V) d, L- a# z; H2 ?隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
9 _! E# P6 _# X限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
1 i' \8 G# }* Y: l4 g括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
. i4 m! u+ ]" T假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
1 d3 a9 ?# K* P. ]- g% u) h數

; c: f- I9 `8 n8 i  S: r1 X1, X2,……,Xn
2 X1, X2,……,Xn
% }6 l3 ^% v$ t/ JM 　 M
M 　 M
( p) ^1 A/ ]+ p! S( L0 O5 O$ E) Y1 qk X1, X2,……,Xn
3 x. e8 `2 F+ [: K- o變異數為 。

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