基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
; I  k* z: ~$ S% A6 r2 Q  ?質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
3 I6 o* }2 z9 D, ]* a) G7 g/ Y: t顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
單元大綱
在本單元所介紹的常用分配,包括：
4 d4 N, e# R4 t& ~: {/ v一、基本機率論
二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
a. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
0 c* V6 M9 P% W9 V% e) F. Cb. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
$ p% _0 i' m- c. o  X四、統計量分配（抽樣分配）
1.統計量之抽樣分配
* F' q" M) |/ j7 F5 [& |a. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
b. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
c. F分配
基本機率論
( W$ R" y, ~1 E8 ~3 O此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
6 K1 }: S* H$ ?: \3 n& K* u4 U; L. E演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
+ q2 G: Y  B6 I& uex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
) M6 u9 p0 g+ @6 K, v: y因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
% w3 T) F" r: g8 C樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
# z! g; x3 y) [8 j7 W所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
) X3 x  |" n" a6 g- G3 yex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
4 H- F" W5 h8 q' g6 R; @$ l統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
7 I# O8 `" z" z! c; `' z# uex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
值。
機率(probability)
' X0 f; X# M2 A! N機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
& m; F: g, Q3 S0 I5 M: {可能；1代表確定會發生。
3 Q5 g! a  {/ i+ Q, c機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
% g% l- E" b; G的機率計算方法如下：
P(A) =
* H5 w& |$ b. a* z  G9 v. cP(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
N：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
1 |: U' F  L6 SP(A) =  =
9 C0 G6 j/ w2 n  O! K' V單純事件與複合事件(simple event and compound event)
單純事件：無法再分解的事件
複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
0 v6 r: L: i- O' eex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
. s6 }& h$ |; y# |4 W! f# u1 e事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
9 ~" \. m0 J3 N2 _) X2 o# Nsol:
：第一個電路板合格的事件
3 |6 t* y% _! h( B* w$ w：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
! V4 t  G# B, g0 d' B5 n5 V5 k：第二個電路板不合格的事件
樣本空間S由四個簡單事件所組成
8 q7 M# X6 L  H2 y( xS = { , , , }
1 B; s8 I3 g3 B5 }1 v" L0 Y% ~各事件可以描述如下：
; K. ]( N* E) G4 k={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
4 H. ?4 `4 H& b/ o={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
7 V  j! v6 _7 k2 [; m4 W: H={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
1 k" l' h5 A* E, B* X$ L9 w3 E6 }# J如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
設每個事件發生的機率皆相同，
9 K: j9 L" ~1 B3 T
1 S* z. c$ o# K5 V+ w7 E
5 i7 ~) P6 d3 |
6 |, ?5 w3 f( w9 y加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
' L# v% a9 a; ?4 b乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
) B" Z- u+ U6 a& `; \獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
, s4 F1 s! |% v故A與B為相依事件。
1 u/ [8 o) P& c! c$ f
1 N: s* H" W$ X2 f$ x1 v5 g/ z' a例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
% t8 S* Q+ w; }: ]7 T$ Sc.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
0 n3 |7 b0 w/ G- O. z4 A: I4 se.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
9 {* ?) |; h! s) g% ]a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
P(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
9 {  o  z' C( \* q* }$ B* ]P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
. R/ a" w0 ^4 A  R8 j# x/ x4 J)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
! ?( Q& p/ s+ H/ H- ]+ _: {7 a所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
% T" _+ O; z" V9 D9 F, Le. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。
2 H: n, Q( {" k# U$ C( n
數據描述方法
[ 中央趨勢量| 分散度]

6 m3 |, v5 c$ W+ k1 V( W統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
; z$ ?8 C+ M+ v8 M1 D% G量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
3 G" h, U. P* O: I在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
# D% d# M1 D! e+ M$ ?: C1. 中央趨勢量的量測
2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
  o2 M( d4 m- e7 B1 V在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
7 O* {/ t" J( P* Y; a數與截尾平均數。
a. 平均數(mean)：
% ~9 P+ l( i! ~( y$ Z: u% p平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
5 L! f" W8 K* L3 R/ I= 。母體平均數以 表示， = 。
4 Y: }2 W! S* M' p7 I) S7 ~6 Y9 ]- y  H例題a
* i( D2 Q3 m8 L6 c+ E
b. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
, R( A& c9 z2 k2 b. N9 I  a+ G個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
2 p2 b0 K2 _1 c0 }7 K5 X% [$ P
c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。
9 b- h3 v1 s/ ^* r. }+ i5 g$ i
9 |" v4 G0 ~, k& U' f, l分散度的量測
  ^' _0 D( S" Z9 ^5 t分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
9 _% S8 f& r( t2 b( \- W2 l4 c1.Range:在一組資料中最大與最小的差
R= Xc - Xs
↑ ↑
: V; d) T- P* z% F- C6 o7 v" _5 o最大 最小
2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
$ B+ R1 _) x( a' c0 Y3.標準差
4 Q$ I) L; J+ A0 J+ k4 V
EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
' h: B" X! K- E- i& {% O0 E1 X樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
, ?3 A# n9 N2 ]2 a2 z與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35


9 N% z' f) a1 ^( i  A1 ]; vEX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
1 \% A" |! @: U* s8 p7 y取30個樣本如下：
, q; I3 V' J* Z7 n/ m1 l由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
9 E& v! X! l6 _; e- R/ U120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
( D# H$ i: B  N' ^" e100 120 120 150 120 100 120 120 100
' O% O5 Q# ?6 G3 t  G) q
. t- o3 D% F5 i, A機率分配
2 Z. H% K. n- G  |0 Q( R) U[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

" r+ k7 |: X% V) A機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
1 T6 A0 G! _4 A2 o, v可分為連續和不連續兩種。
4 t: A; D. E& a) sa. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
* r$ r, e! u4 t+ j) V! rX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
b. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
0 [  Y. V% j' |0 p/ hP{X= }=p( )
2 c- F) F' L  z2 o2 n* ]
4 T  Q4 M. c. K, U

超幾何分配
( n5 {- A$ v( x  @4 D* z  v) c! e從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
8 m" z4 h2 L" g7 R+ H6 R1. 定義
如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
8 ]3 i  [- s! l# T6 E2 ?機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為

& U' d- @3 q6 b

* r; A- W  \" B9 e: Z/ _: L3 Z若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
4 v$ n% r) Y2 sDistribution）
4 H% ~* c0 D- i: K% r* n- Q
4 s* T7 y  Z$ }1 O0 f) w+ U( A

7 x$ f  m& Y, c, ?  Z二項分配
1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
f(x)＝0， x＝其他數
則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
! _  b- b# a! I! j+ i等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
; k! d1 M, a% C* b3 v/ T8 F試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
# t# h4 x# E+ {  k$ x' c。
. h$ U+ v- P( `: y8 N超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
" Q7 L: i$ W# ~) k- m5 u2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開
% h6 d) D$ w' X5 w
. L# U& E+ }7 ~" Z5 r; v4 t; k

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
- a/ ?& o3 y0 Bn：試驗次數或樣本大小
% ?+ _) Z% T) C3 A/ d" TA與B為互斥事件
% i' D! Y, I1 B. X3. 二項分配之平均數與變異數
. m3 v. N, X. I# R8 J2 ^3 B4 y平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
6 z; T- a. B' r# a3 }+ @" ]p：群體不良率
8 m4 q4 f. Q$ G$ t5 Sq：1－p

1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
" j& N8 k' s4 N. L! w
4 A# |" \: C7 @  W2 g. y' D5 {
. E7 _5 M4 A0 X4 Z5 P則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
2 g% `; l' G5 _3 `+ Z卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
形：
1 k% e. Z2 `3 B) Z  E% Aa. n ≧ 16
b. p ≦ 0.1
3 ^% A) s- A( X( \" W1 p) q1 _c. N ≧ 10n
應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
) m) ?6 N$ w0 G; C6 N" P% c# O' @4 Ya. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
: P6 U  h$ U9 Y; P# K$ O: L( Z等。
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
/ e) W3 a. U. F等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
" v5 T. n2 e3 O9 m變異數： ＝V(X)＝C
: k% q4 Z% h7 C2 s3 f+ s0 u卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。
! T1 l" A- [% W) p$ v
* R7 k; r* `: N) V常態分配
' U2 v: L9 {/ k* y5 s' u/ B1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
6 M" K: F5 X- A7 S# p9 r－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
c. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
, R3 T" ^0 c' }# f  nf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

1 p! A2 B) G8 Q

" s" B. F+ [# r. ?  f' F3. 標準常態分配
5 r5 r; q* H  v" J為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
$ D" E' O% g; _9 u( d3 ]分配(μ=0,σ=1)：
+ g$ q7 j2 Y) `8 G經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
3 T3 W+ p! D, M: p& q2 _， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
+ Z- \1 {5 _1 j4 I& l2 J" M" ^9 Z之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。

1 T' H" O) W4 q( g$ |
  }9 o/ L2 @7 Q! Q) C
0 t9 l6 G, b& v; Q" L4 |( m4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
, U! E+ j& o* Z9 C* I3 p品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
$ z0 A5 J# F! L% u1 [( b2 g因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

7 L6 h& e+ n2 U1 T常用分配間之關係
超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
" H) q6 L: S: _' ^% X4 h9 r/ J明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
; I5 o; g; P% B8 v" ?1 }p≦0.10
np＞5
8 U& C5 Q2 H* N! q+ P1 ~# N& H不良率在10%以下，n很大，但
不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
p＜0.50
, s' \: N4 @2 a$ R& h- Znp＞5
不良率在50%以下，n很大，但
& o# @( v0 U* {  x# J" a4 Q不良數在5個以上時
0 t% I1 Q5 M  J  c7 }. B二項分配→常態分配
! d% J3 L" S9 U, pnp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
  D% J+ M7 y/ a* ^6 m3 s卜瓦松分配→常態分配

抽樣分配
2 F  c2 u6 M1 S[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
' F( W; t9 J5 |  [) s. @$ o- c# Q  {/ v無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
2 f* }6 O$ h( d由樣本去推測群體之特性或相互關係。
% p  [$ X( J% ^: |% A
. b( `- W/ ^# S$ a
5 n( Q5 G6 }! V( R6 c: z
1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
8 g- M4 k/ s4 N$ w% X) P假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
8 m" o" ?1 c) A; o! d! X數，則

- |" I. f0 j5 W

9 Z0 @) O4 z/ z/ o" r

+ w: O+ b( Q8 M# @# y0 t∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
8 X) q! u! [  Z! B, r7 Z+ p
* w. K' U$ _5 W7 @( X1 x7 p

例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
6 D4 T1 k) z0 k: H# O0 P6 ]構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
, L  X( X. o6 O: nSol：E( )＝ ＝30
V( )＝ ＝1.8
, n9 f- M4 h8 ~  f6 T, r9 }



9 [5 i1 \' |5 X
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
" }" J8 a' |2 y5 G
0 \3 \) Q' n! Z$ \3. 樣本標準差（S）之抽樣分配



各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
5 Y8 Y8 \2 I* o* H
" n/ D8 d. }0 v1 h' R5 r1 L0 z2 i4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
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9 r9 G5 ?' c9 V* Dk X1, X2,……,Xn Rk
  K1 U+ Z! r4 L& h2 h5 c. G　  組號 數 據 樣本標準
差
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各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
( z, d/ B+ x* Q: f( ]5 T1 o不是一個常態分配。
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; _6 Q2 `) V0 J; w定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
5 A; X0 T( \/ N' Y$ E: f) u限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
" |) x7 G) G  _2 |4 h# H  U+ E括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
6 V" |' l% x2 a: n+ H卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
數




. v" b# p, a- k3 f: ?定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
% {# \# l8 e; Q  I+ @抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
8 c5 M4 a) `# b8 P$ }; R- E6 Z括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
; P9 B, U3 B) h: |3 f數
/ ]" O  B1 c( a  n
$ p2 x" Z+ s, f" o2 U1 X1, X2,……,Xn
2 X1, X2,……,Xn
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