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基本SPC统计基础

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发表于 2014-7-16 16:30 | 显示全部楼层 |阅读模式
基本SPC统计基础

' ]: L7 ~8 J# N) C8 u; j+ F
單元目的4 I; A+ I' W2 D) X7 M& U' X* Z7 k! H
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化,其主要的目的在於藉著科學的方
& ?9 @3 e8 |& B, S* ^# \, `' V法,從這些事物與現象中,尋找期規律性,進而分析與探討其特性。在品
0 h9 ^) O" S) w# w% G6 o3 k質管制中產品品質特性,就是一種機率分配(機率模型)。從管制圖上所! o* d0 o% R3 k' y) j/ Q
顯示的現象,我們可以了解製程的狀況;或由抽樣檢驗的結果,我們可以- n0 ^0 `  ?. H. @2 Z/ h) t
判斷同批產品是否合格,主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量* B1 W& m; ]/ s
有所了解。
( N4 A# [! t& C1 M/ H單元大綱$ d* |/ d; a; c* w1 F6 o; C: w# `
在本單元所介紹的常用分配,包括:
% {0 V& u+ C' M, v一、基本機率論
9 u" w1 s2 ^+ u$ `: r, o4 n二、數據描述方法2 m" N' ?/ h* e
三、機率分配(群體分配)6 V: _+ x" L+ Y4 [  t. B
1. 不連續機率分配(計數值分配)
5 L' C% Y# T" O- Oa. 超幾何分配(Hypergeometric Distribution)
6 s/ W) s9 W5 A) K3 ]  E1 D) zb. 二項分配(Binomial Distribution)8 b* A/ x+ u* {3 T
c. 卜瓦松分配(Poisson Distribution)
8 M/ w) p6 }% a: \2. 連續機率分配(計量值分配)% O  z; U/ o- y  L* q
a. 常態分配(Normal Distribution)
6 c( [: Y4 X, ]9 Y2 r四、統計量分配(抽樣分配)' C/ P% a! u. L8 n; C9 ?+ I
1.統計量之抽樣分配5 u. w  ^. j7 o* \7 r' C6 }
a. 樣本平均數( )之抽樣分配
4 @. L- w# F4 I5 n' W- bb. 樣本全距(R)之抽樣分配2 ^, _7 t! Q! X# |9 S5 r
c. 樣本標準差(S)之抽樣分配
; o5 c$ r' h3 p5 X/ @# @. Sd. 樣本變異數( )之抽樣分配
; b8 ]4 `  G+ h! e: O6 T2.定義於常態分配之抽樣分配
9 p" f! ]7 g# O- S8 g; Ka. 卡方分配( distribution)
# f# v$ u) s+ Z7 ~/ r6 }; Bb. t分配* h# z  m8 G3 U" y8 e, M
c. F分配 . S* P: i" p7 T- C( N0 _# Y
基本機率論
3 r9 s$ w5 X% @/ v此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術,因為統計在此扮
* W: F+ d* T) b' }" b演一個重要的角色,藉由清楚地瞭解其相關的原理,使大家可以更知道其不同
9 W5 f2 }1 }. {& C0 c# l7 P與未來結果的分析。* A4 A. \) q! u9 l! o" _/ M
母體與樣本(population and sample)3 q6 S9 y# E  Y0 c$ \  ?/ w6 Z
母體(population):一組包括所有項目的集合。
1 H6 _4 b* u! a. @: \5 xex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量,
# s/ ^4 @$ b& ^) d  [則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐),
' R/ G) t. b+ [8 L0 A因為我們關心的是A牌的罐頭,所以即使公司還有買進其它牌子的罐$ B4 o, h0 m- t" B) L
頭,母體仍只限於A牌。0 u. j" R, h0 \2 X7 p5 u+ t
樣本(sample):母體的子集合。實際上,很多生產線上無法量測所有產品取得
! p. O# o# X5 Q所需資料,因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行,利用部份母體中的6 w4 q! B/ I- O7 o+ A; v7 t: B
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
. \; A6 [6 O! d1 P; v1 hex:承接上個例子,七月份買進的罐頭有50000個,樣本可能是隨機選
: q/ J/ b: }' d3 f取500個。
) [5 W0 O( A: X1 Q# g  O, m參數與統計量(parameter and statistic)" L0 o" |4 B8 B& a, T2 j- s
參數(parameter):可以用來描述母體的一個特徵值。
8 M. B5 }2 V* ^; iex:以A牌的罐頭而言,平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
% a' ^3 A- D" ~0 o4 m# w統計量(statistic):是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
2 C' S! Q' J! l6 Q9 y3 g: tex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
- h* k* K% [% z3 D! \值。
# A, l- j% j* h  _' o) A. E機率(probability)
. U$ s  C% R6 P9 ~! U; ^- V4 c機率(probability):發生的可能性。機率函數介於0跟1之間,0表示沒有發生的
$ ?- Y0 o3 Y. ~6 ?可能;1代表確定會發生。  c9 ~! y/ n3 {0 e1 J4 R
機率的相對頻率定義:如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同,則事件A
' R1 B+ |1 r, Q( r% [) g9 C& z的機率計算方法如下:
2 S9 y# T' }$ E- h4 `8 I" jP(A) =
+ ?* u6 w3 G0 L1 T; E% P& F9 Q1 |P(A):事件A的機率% T: a+ N$ ?5 n
:事件A發生的方法數目
* |4 T, M! Q3 Z: p) qN:樣本空間的點數: `* J! ?  C( D$ W% \* l
這個定義是機率的相對頻率,只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情, `6 U( x7 ^3 q+ R6 |* \
況才能使用。
- E1 d) N: n. Y% c$ k- Dex:擲一個骰子出現點數為單數的機率1 H1 y+ o, Y6 ^. @, H
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數,則
/ b+ b# p, d% M1 r  x樣本空間S={1,2,3,4,5,6},事件A={1,3,5}
% K# b+ H6 z; VP(A) =  =
8 H( K* i- F& u/ V- o單純事件與複合事件(simple event and compound event)
; l$ Z0 j$ u3 `+ x$ w$ P- z0 {單純事件:無法再分解的事件
- f8 x! ?1 n/ y; q/ s5 ~! |複合事件:由2個以上的單純事件所組成的事件' ]4 v& ?, C; h* v  m$ {
ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版,檢查是否合格,試問何者是單純
. J$ J5 k3 Q9 P7 `1 i事件?計算出至少有一個電路板合格的機率。$ Y/ r7 V3 P( u! x' }5 a
sol: ; M1 h$ v' p6 n1 u1 J& D1 @3 i8 X
:第一個電路板合格的事件% w3 W- M# D; I2 R  [: A$ E: ?# ?) p
:第二個電路板合格的事件9 o! K( i/ }# C$ T/ i
:第一個電路板不合格的事件( @  [: p. x, h
:第二個電路板不合格的事件6 h6 b1 q& g5 y: `% _+ o
樣本空間S由四個簡單事件所組成" I, _: m) K  ^$ u
S = { , , , }
/ T( K" w1 ?7 w- U. }各事件可以描述如下:, m# U0 x; h+ o, F# |! C' O. |! @  L% \
={ , }:第一與第二個電路板均合格的事件1 a3 r8 A# g' k. _, B* e
={ , }:第一個電路板合格但第二個不合格的事件
' M" @9 d* n4 N( a={ , }:第一個電路板不合格但第二個合格的事件, X: r- J0 M1 z
={ , }:第一與第二個電路板均不合格的事件
! G( v" x5 d5 G7 `3 T3 k" g4 a如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , },假- N# y; _5 }' y7 f
設每個事件發生的機率皆相同,/ [' n% w7 F/ S7 ]% e, ?" H; ^3 z
% V5 H# W$ K# \; k$ u( ^
QQ截图20140716155534.jpg
- w  ~3 H2 [7 C8 y2 h# P
8 V' A) ]$ V1 b$ E# L* o加法律:P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) + P(B) -P(A∩B)
5 S$ J. O( n6 P9 W. r乘法律:P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B): F* \: `+ Z) _: T
條件機率7 O2 o# T& |$ e
P(B∣A)表示給定事件A下,事件B發生的條件機率。如圖9 a1 ]3 Y% J$ c& ~

. h  j8 K. g6 y" n, {  f% b* L獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)- s6 L: Z; a( v, m/ B
獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立,所以假如A與B獨
8 b, o, V% P" [0 ?5 |6 G. M立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A),此時P(A∩B) = P(A)P(B)
2 }5 ]; ?' u6 }3 w& I1 a互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件,所以P(A% U/ J1 a7 A4 @1 M0 `
∩B) = 0,P(A∪B) = P(A) + P(B)。因為如果A與B互斥,則兩者不能同時發生,
  K' H+ ~. k, j9 M& F$ q故A與B為相依事件。
; C& z5 E; b/ t
  v8 Z9 t: R$ x3 P- T! c) ^例題:某鋼鐵公司生產鋼板,根據過去的經驗,有5%的鋼板長度不符合規格要求,有3%的鋼
! c$ {0 a8 |$ T; \板寬度不符合規格,假設長度與寬度的製程不相關,請問
; a3 y5 s$ H! @a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少?
7 N+ n! C, k, t3 ^& ~6 _0 Y5 F* Wb.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何?
, z. y, H/ x: U1 `c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何?( A/ [- C6 r- o5 D
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的,如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
% u( }/ C7 D: a! v( P正確,使的寬度有可能不符合規格,從經驗得知長度不符合規格時,寬度不符合給格的比例* R6 G* S0 D. }% z. V+ j% J
是60%,請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
8 `7 h( L) b  B' `2 S. k% a. ce.在(a)中A與B是否互斥?
, L9 H' S, T( b7 W; V8 Gf.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。8 F6 g8 A$ o: q  H# r
sol: 假設A表示長度符合規格的產出;B表示寬度符合規格的產出 / T& {, S, y" _& S% x! O
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03 3 y; }8 J( G0 Z2 J1 I: a8 P/ \* J
P(A) = 1- P( ) = 1 - 0.05 = 0.955 q& M& r$ m0 y- k
P(B) = 1- P( ) = 1 - 0.03 = 0.97
0 o3 W+ e" c" o6 b. ?) z- bP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215, c+ ]: X% z! H4 W6 c
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both),從加法律得知:
# h! }5 q' @0 Z# s8 N6 M! \! BP( or or both) = P( )+P( )-P( ∩ ), y$ N( S" W- s" e$ D% \, S7 Y' y
=0.05+0.03-(0.05)(0.03)( z' ~0 p: B2 H) e4 K* U1 [* n
=0.0785
1 a6 N. j' k  i, k- S; X所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
$ G9 I# e7 W% q9 d; P: ^% v4 Nc. 題意是要找出P( ∩ ),而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015 * l/ _+ f% U+ j, a1 }3 n: m
所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
) f& j+ h3 E$ Cd. P( ∩ )是此題的目的,而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩8 d/ @* W1 F& |$ u4 R' g
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03 / g' O, r6 P4 a0 @
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。) \0 D/ g  c: L1 G
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215,如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
% z5 @5 e1 V" K* m於0,但是實際上並非如此,所以A與B不是互斥事件。 2 y: Y3 C, c% z+ m6 C3 H
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0,所以生產出的鋼板均不合格。% S/ e/ H% A8 [9 g1 z6 ~' p5 h9 G
! o& R4 _! D% S* [" v) U) Z
數據描述方法
4 A* S& y1 F4 o3 `1 Q/ q2 N[ 中央趨勢量| 分散度]* i, ]- q. u$ V3 M4 ^% B

  r) c" c$ a3 a) X+ P% U: l統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學,一般可將統計分為
# E+ m9 v. R( \! J( h( I6 I1 k: k- K( C敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
2 W  a) K% s5 [( X量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。8 W3 ~: T" P1 z; r
在此首先要介紹的是敘述統計,主要內容有:
0 u. O% R6 l/ L4 n4 h$ }1. 中央趨勢量的量測 8 `8 q- }, d9 Y2 ?1 t9 W1 E* n
2. 分散度的量測
. d1 I3 N6 n4 z  o/ |( j中央趨勢量的量測
2 |, `) }& i$ T$ N: G: w, m在SPC中,中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值,可以幫助我們
  I! w# P; R. U- @. ]決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值:平均數﹑中數﹑眾2 V8 F4 A4 `0 {) r/ d
數與截尾平均數。
1 j6 }; X' f. Q0 |+ K- x' i8 v2 ]; k9 ja. 平均數(mean): 8 E/ X" @, i( `$ m3 I
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值,樣本平均值以 表示,6 j: \: S# T. s  Q
= 。母體平均數以 表示, = 。2 G7 t5 t6 I$ Z  ?; R
例題a
8 X: u6 a( b* w! I
. b$ A8 v" A' @; Wb. 中位數(median):位於所有數值的中央稱為中位數,如果數值有偶數個,則取中間兩
; n3 t" N  i5 d4 R- Z/ S5 i個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
6 B) i$ q& V! }) G8 H因為中位數比起平均數而言,較不會被極端值影響,故中位數比較穩健。
) {2 |/ {; ]3 A' y/ G  n2 p% f9 L$ M2 c# `. u* `# d: y
c. 眾數(mode):出現次數最多的數稱為眾數 - L# i, t# ^+ f6 m) j
截尾平均數(trimmed mean):截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均,
7 K' `+ h" f+ l1 F3 u' A比起平均數,截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個5 X5 ^1 C( @  D* D# m0 y
出現頻率最高的值。 5 f* i+ x4 Y0 F' G

5 C, s2 d9 ^! o( U分散度的量測
6 J/ r( I4 G! D5 U7 [; K# E分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
/ g- Y* g5 U2 T5 [2 u2 v4 q. l' Y1.Range:在一組資料中最大與最小的差
6 R0 O3 g; d0 w4 M$ `5 q5 _R= Xc - Xs
, b9 b0 g/ D) I0 n! `↑ ↑
& W9 \/ ^- W/ R1 n2 b最大 最小
, Z, t7 J8 B/ U% R2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形/ Z) ~) J2 ?5 i6 H3 C$ z
3.標準差
3 Z! e' e5 P; b0 D
/ A6 I( ?, E8 E! R1 _1 v  _EX_a:隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
# S- R8 l. X& m  y- S2 f) c樣本平均或平均等待時間: = 分鐘
9 B& V8 u, U, T' B3 \- @& u6 v% n
3 S- C, F# g  p* n8 R. K; I' s) P' KEX_b:隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下:52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5, % R: |0 o& }/ Q
52.5,請問中位數為多少?1 [/ O- Y8 d" X2 B
sol:將測量值排序後如下: 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5+ A  {5 `/ S0 o! C4 p
與52.4,兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.352 ^! z2 t, }7 `1 D+ O+ V; k0 N0 L

, k8 S& h- k& s# @9 m! r8 o# D" b3 `& N
EX_c:某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求,隨機從歷史銷售資料% Z  S7 k# \+ K: r1 t
取30個樣本如下:+ k2 M! e. A# l& d' L
由下圖可知眾數是120,所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。2 M3 T5 `" \* [* S8 Z
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8% `4 n4 K% ^( o  u  V7 h* x
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1& ~+ y8 Q* }/ P% I6 A( E' M
100 120 120 150 120 100 120 120 100
& r$ G1 v+ f) x5 m; ]
3 F. i7 _. Y( N機率分配" B$ a0 ]5 p/ w" ?! _
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]
8 K+ b* H9 E! f. k. N0 {% g7 O1 C, o% W  Y$ \
機率分配(Probability Distribution)
) v  c5 T9 Y: x0 d1 ?) K4 v機率分配是一個數學模式,用以描述一個隨機變數(X)所有可能值出現之機率。機率分配
' v& ^. o7 x4 \8 D, F可分為連續和不連續兩種。
0 V% }' Y" K! Ka. 連續分配' s# {9 n7 g9 B2 W( V
若一變數使以連續尺度來量測,則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
# F' K( d/ G7 b1 \' WX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
% U9 F: b* ~2 x) a- fb. 不連續分配/ s# m/ l9 A$ }) a( W, e, y5 l! \
若變數只能為某些特定值,則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨' I  e7 H# J6 K8 E: s  t7 V
機變數X等於某特定值 之機率為: d0 b% q4 u1 {$ Q/ \
P{X= }=p( )
# P& O" P% W$ }+ g' p. b. m% s0 s
9 G9 n1 K& j& ]2 | QQ截图20140716160521.jpg
# l- z! e, J! L8 k* a) ^7 a& T3 n: I% v" h. O  z
超幾何分配
# D  C5 t1 s: ^* F+ y從有限群體中,隨機抽取樣本而不放回時,需要採用超幾何(Hypergeometric)機率分配。* \4 j3 M' e5 ]1 u
1. 定義
9 w# S& P+ S9 Q3 M7 J) X$ Z如果一批產品共有N件,其中r件不良,其餘N-r件為良品,現自該批產品中隨
$ f% V  k2 o9 l8 ]0 h機抽取n(n≦N)件產品,則其中有x件不良品之機率為
: j: S& {6 [" j9 B
: H8 x! r( V  Q! Y, o QQ截图20140716161043.jpg
) k" w( Z1 d# g1 R7 g! b5 E2 {6 O
0 o5 {6 R5 z: s; l; \; D若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時,稱為超幾何分配(Hypergeometric
( n- J8 |2 k6 Q/ kDistribution)
$ n: N4 q, ^; P, D3 f( w
8 I4 P: }% T# N4 e# h6 B QQ截图20140716161115.jpg
& J  O. u5 O& Y) p$ C- {% [! x9 i
& i: k6 r1 d; v二項分配
+ `( C% K+ w# H, Y  v0 B8 I1. 定義:假設X為不連續隨機變數,若其機率分配為
$ Q6 @2 {0 H0 R3 A2 U,x = 0,1,2,…,n ,0<p<1
9 n# |  j. h; A" d/ X" B" k" Kf(x)=0, x=其他數
$ E  {! C3 H. p. j則稱X具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗,其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
. |0 p6 @9 v& J9 L  H等),若發生A事件之機率為p,而發生事件B之機率為1-p,將該隨機試驗重複
1 J' \/ Y1 b( v# G" Z. ~試行n次,其中事件A出現x次,則此隨機變數X餒具有二項分配,其計算方式如3 {: K/ @6 g% l: @+ W3 o
下:+ j! \- u4 I, {6 w7 ~& Z( n
假設在n次實驗中,最初x次全出現A事件,其餘(1-p)次全為B事件,如上圖,' o; J9 j: n1 {) T4 \
此情況之機率為 然而此種組合共有 次,所以其機率為4 J! |+ }' T8 r6 i

' S5 R9 a& g- v1 V超幾何分配用於群體之批量有限個數,而且其取樣的方法是取出不放回。下列: h4 z% j0 J9 ?# w# s. p
三種情形應該採用二項分配:, L0 ]$ t- @  u* X, y3 H6 W
1. 群體批量為無限多。 : E! y2 F7 T. d9 @. Q' L) ^* v" G
2. 群體之批量為有限數,但取樣方法為取出放回。
: x9 M* {: V( {8 I" X* ]1 |3. 群體之批量為有限數,因相當多,點算不便,且N>10n。 9 t$ G/ M7 [1 |6 _) P0 j1 {
2. 二項式的展開
  I- k$ [  L: P2 u2 H+ w( e) Z- a3 a' K! v2 S
QQ截图20140716161238.jpg
7 d6 ~/ _: o. ]& N! R! J1 S. }8 v: v6 K) @
p:A事件發生的機率(例如,一個不良率)" {7 O' T8 T/ x
q=1-p:B事件發生的機率
- F: Q1 g1 `2 k5 f- H; q* fn:試驗次數或樣本大小
+ h& y4 R" T1 D* zA與B為互斥事件
$ z* w7 b  J/ H& L( a% u3 R3. 二項分配之平均數與變異數
0 m+ k, j4 o, T6 H, P平均數: =E(X)=np
" a% j2 @8 f/ s6 Z4 ^" v4 w6 C變異數: =V(X)=np(1-q)=npq2 T# r5 j2 b0 z" T- h2 h+ S
p:群體不良率
' r  {- d& R' X5 e# g+ z$ x2 Bq:1-p( X/ E% c* n4 |5 Q0 g( ~

0 U" }0 J# V1 b8 d1. 定義:如果x為不連續的隨機變數,具有機率分配( y' Y! i$ {9 T" {. l
QQ截图20140716161357.jpg
8 l! M4 D4 V- n0 U! n- o! w8 K" o% P) ?9 G4 p
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
/ i' g7 P; V! O' o卜瓦松適用在樣本n很大,且不良率很小的場合。一般而言,可歸納下面三種情5 z& r( c; @. a9 }  r0 J! ?4 L/ M+ g1 y
形:
1 S7 a1 Y& Q9 H7 t$ q* T  R3 ~a. n ≧ 16
6 _& ?, ~0 @3 ~# M/ `2 Yb. p ≦ 0.1
6 ~- \+ I7 t4 P8 Tc. N ≧ 10n
9 J1 f0 X) H+ I" k) W- u應用卜瓦松分配的實例很多,常見的有:. E' w7 T! Y' f$ ]7 _1 Y
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
1 ~* O4 [" s5 Y! m3 D  i; `等。' l3 n' S' U6 }$ c8 }+ j
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
* O( d& J8 b2 b+ D- E等。, r8 J8 a1 r" k3 m3 k* G
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數0 U% w8 x! b* U! X2 |6 v
平均數:μ=E(X)=C8 E, H7 _7 J( J5 g! B1 J/ N
變異數: =V(X)=C
# d' e: b+ [; \& F1 O+ y卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未4 a( b. P9 A0 X7 J! P7 ~; h/ \
知,則以平均缺點數代替之。
9 h/ R+ L: g9 g: y# b  m! a) h, ?& X; f9 v, Q
常態分配8 a7 _/ \9 X% ]6 R- U
1. 定義:連續隨機變數X具有機率密度函數
, {4 k2 C6 n; h9 w. A-∞<x<∞, σ>0, -∞<μ<∞μ2 }/ ?$ E1 G8 U: Z
則稱X具有常態分配(Normal Distribution),通常以N(μ, )表示。
# Z& h- t  J% v" e! s0 J* F4 G2. 常態分配之特性  _- U3 a3 i9 A% j) x
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配,如身高、體重、品質特性觀察
$ \& x) G* {  ~9 G4 w0 a值等0 v" n5 |. [% ^1 U- Z' `
b. 隨機變數x為連續變數,其定義域範圍介於。-∞與∞之間。
3 k/ x$ U/ t/ _1 z( Xc. 有兩個反曲點,在μ±σ處。* s- I/ U# C- W" Y: L7 N
d. 為一單峰對稱分配,呈鐘型,以平均數為中心左右對稱。7 X+ O4 f; I. ~8 o' F6 ?# Y
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數,即平均數μ與標準σ。如圖下
) _- p; \/ o; f" s- v6 Sf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。/ k* M- u( ^! A; b9 J

* j9 ^- T# Z7 T9 K6 k QQ截图20140716161501.jpg ; c, p; ?; t. E: K9 w- a8 e
$ k8 I8 O. |& t1 A0 _$ J, ^+ T& f
3. 標準常態分配) k& \5 u) J1 k) T* ?
為使常態分配的計算簡化,可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
! T9 C* F# V% y3 ^! c分配(μ=0,σ=1):* R* R9 [% v$ k' {% U7 {
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下:
1 U$ O+ l$ x. I: ^) L) `4 N, -∞<z<∞
" j1 ]' V2 O" G由標準常態曲線,可以進一步求得±3之間的面積為0.9973,±2之間的面積為0.9544,±1- B# [6 x7 N9 S  G2 {, @
之間的機率為0.6828,如圖所示,其中μ=0,σ=1。
& d% x% C6 K/ C3 b  A* f, w! k* H* ~8 R0 v# A& o
QQ截图20140716161542.jpg
) S) w7 K+ H' b! N1 L3 x4 V2 A: r: Y4 V6 R) X, E; M8 N3 n
4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)% w4 `& @& w) G1 C5 K
中央極限定理應用於品質管制上,非常重要,因為從某一群體中,抽取n個樣本,其' l+ d6 ~8 d& v' s! J0 p5 m
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn,平均數與變異數分別為 與 ,則令Y﹦
5 c0 p! a; q9 r7 Z3 u( O' Z' M2 u! \2 K2 G, O8 v# U, q
當n→∞時,f(Y)為常態分配。; a8 C: \( Y( ^0 s2 r! h4 J
因為一般產品的品質特性值,很難得知屬於何種分配,但是,從中央極限定理得知,
1 Q, H+ }5 X/ k7 k1 V在未知群體分配時,只要抽樣的樣本n夠大,其平均數之隨機變數近似於常態分配,
8 p1 `& [! m+ u6 d! g) O此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。
+ E2 H5 t  T* R0 n  Z; Y  q$ h: ]: ?7 s; f5 _( s: x0 f
常用分配間之關係
) K1 {) |+ o5 f- ?8 ]; t超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
- n9 E3 b0 \# E% c. ]. N+ F1 P明:8 g* G9 e) M* O" C2 |/ M# C# Q, y
條 件 實 例 可用之近似值計算
8 ?0 |; i8 Z9 U, FN>10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配! A2 N; u7 D" [1 r1 a! C: i
p≦0.10  r! R2 l9 y) [3 j3 ~
np>58 I- \3 P% ^- t
不良率在10%以下,n很大,但' m5 J/ N) D: I% d, e
不良數不超過5個時
7 Y; i: a) H3 N二項分配→卜瓦松分配5 O% I4 A2 H  p! O- [: F
p<0.503 m: z7 p/ V8 c6 v' r9 o! b
np>5
! _0 A5 k# f6 k  ^5 r$ r不良率在50%以下,n很大,但. }; N8 h/ R+ ]% a$ C& M
不良數在5個以上時
1 [- [3 C; E% z- z4 `- k二項分配→常態分配
3 j& [$ P2 P8 u$ S7 ^% onp>10 樣本數很大,不良數有10個以) `; |# ~( K: s# |* g$ F: p9 v% f
上時
% d' J, _5 h6 V8 ^; i  p; l+ Q卜瓦松分配→常態分配
+ h- e  ?" Y5 k  i% ]& i+ l* `9 Z
8 R  u4 N0 o# k& S- U$ l4 c) G5 V抽樣分配
* k% V- e* r2 R2 B- s# U- N) ?8 o) x[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]  l6 x2 P( S8 n6 Z' f3 s' g
2 [3 w( G4 T, M
統計量之抽樣分配. G" i* G, n3 M0 H4 o$ J) W
在研究宇宙間的現象時,由於人力或財力所限,無法對整個群體觀察研究,致使" U# Z' A9 b1 o( k3 Y
無法獲知群體所蘊藏的某種特性,但若能依據某種法則由群體中抽取樣本,即可
& V. J( I$ g4 m- f8 @6 c  U& p由樣本去推測群體之特性或相互關係。
# v: k, e) m( k$ x3 e, P" S+ i. Z- ~
QQ截图20140716161937.jpg
2 M3 T, [. D$ [. @" z2 g0 `# c! W7 m* z% |& u1 `& g
1. 樣本平均數( )之抽樣分配. k: z; M: W% z! q% h2 }
假設X為平均數E(X)= 及變異數V(X)= 之隨機變數, 為大小等於n之樣本平均6 Z9 X2 {6 `* Q6 V$ [9 s
數,則6 F; A, B7 |: l) X! K8 d$ K1 B, X

2 {! s+ X% a0 m8 A* F) P QQ截图20140716162330.jpg   G; \' I% T) \( k

5 V2 ?4 i4 N' @8 O6 ~$ I QQ截图20140716162301.jpg
4 T' N! e% G! e) O
- r* Z9 d* Y1 D/ v4 y1 t5 A4 g∴不論群體為何種分配,若由群體中抽取大小為n之樣本,樣本平均數分配之平均數等; I5 w. l5 |0 s6 Z' r, K) d( [
於群體的平均數,而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
. `5 u+ M9 J4 ~9 f
7 U* K" |& A' ~; u- H( V" u+ l QQ截图20140716162415.jpg 4 X& K- l$ \& P. B" k0 K6 h1 g: w1 N

( L$ l' l2 J$ K例16:X是常態分配N(30,9),假如從X中隨機抽取大小為5之樣本,使樣本平均數
8 n- u" C0 H: R& ?6 V構成一抽樣分配,則其平均數與變異數分別為多少?/ H5 C+ U) }( a  _/ _0 l! z
Sol:E( )= =30
* O# D3 v( N* b6 M5 n' T% DV( )= =1.8
( P& N/ T  U" t% [$ Y% q0 c4 u: Q1 p( _1 ?' _- x: G( I
QQ截图20140716162458.jpg $ R6 r$ L  R3 g8 ~* s

; |$ c" a' L* s- t/ _+ N+ _; \ QQ截图20140716162532.jpg 9 L; n* p9 m! D) M6 ^- c+ c' L% V

) U+ s& U2 ]0 Q! ]/ h  g各樣本全距抽樣分配之平均數為 ,標準差為 。但此分配不是一個常態分配。1 F$ n5 f( l  q" }& N* ?- _
: Z# ^; d/ g# h, D) l! t
3. 樣本標準差(S)之抽樣分配
! G- g# L# m- Z3 X1 B! E2 u& r' x
0 O/ r* R# c+ _! Z; K# z! B% i QQ截图20140716162614.jpg
5 \' G) Z; o: _6 u
. n7 H! u: w# v) v* J各樣本全距抽樣分配之平均數為 ,標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
6 x) c8 m; ^& |1 J; d% h0 ^  C. h8 z# I( `8 ^4 m3 i" }8 ^
4. 樣本變異數( )之抽樣分配
) d+ N3 Z/ M0 ]/ [1 |! |" _+ \M   M
! ?+ @; \' y3 L1 ^. Y8 sk X1, X2,……,Xn Rk
, j  P& ^+ i/ l% e) ]   組號 數 據 樣本標準
& h# N8 N# W, f% i
4 @* w9 F1 k1 \9 p) @1 X1, X2,……,Xn S1
; u4 y5 J2 Q- S8 z' j1 m. |2 X1, X2,……,Xn S24 ?8 {# o; F- j6 a0 X
M   M3 V7 t5 L5 |' H* c* K) J7 I( m
M   M
' s, Y; T# M) }$ [5 j0 uk X1, X2,……,Xn Sk
# j3 D6 J& r$ @( k& Z. I! T
  G2 r6 R) I6 w5 p/ n* w* I7 W1 m9 rE( S)=% F) i6 O* E/ g9 H# [8 ]6 n* V
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ,標準差為 。但此分配
# Y! M; I0 H; l不是一個常態分配。
8 A( w1 F+ V6 P8 z( H- z5 o# Y  w0 ~. O
% V$ |4 G1 g/ D
定義於常態分配之抽樣分配2 O9 s' A' ^- F& _# A3 A6 c4 i
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之6 t* r* [: p9 Z" I7 g* q- W+ f
隨機樣本,則樣本平均數 將會符合 之分配。另外,根據中央及5 p7 B3 s! w; e! m5 O
限定裡可知,即使母體不為常態分配,當樣本數n逐漸增大時,樣本平均數 之
( P( R$ `4 _8 t抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配,包% G7 }+ |9 E8 N% K
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
( N2 {& C7 }$ q  h卡方分配. ^: A0 T. o2 w: Y
假設n個獨立之常態隨機變數 ,其平均數分別為 ,  `: C: `- {3 `2 {
   組號 數 據 樣本變異
% a0 s; ]9 G$ p0 h
8 i+ N% T) |: c/ {4 Y* n4 N  o QQ截图20140716162655.jpg * L6 J  `' p$ o
) r0 ?/ N3 H: a& k" z$ W  O
1 C5 u' J( X, p+ p6 Z
9 L* I8 q5 u9 w9 O! z$ D
定義於常態分配之抽樣分配
( A! J8 y# D. H; ~# ?假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之5 Q& g+ j  @/ W1 e
隨機樣本,則樣本平均數 將會符合 之分配。另外,根據中央及# w+ P0 T( b! {& ~
限定裡可知,即使母體不為常態分配,當樣本數n逐漸增大時,樣本平均數 之
- x9 k' r4 V3 _& ?6 Q抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配,包! v$ y3 R/ a1 X/ U! E" m/ ~. z
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。, r2 h1 {- v' o2 d/ D
卡方分配
$ c9 t- h8 o/ E假設n個獨立之常態隨機變數 ,其平均數分別為 ,6 D) P9 [5 j- Q! z) K) e
   組號 數 據 樣本變異
9 d! ^& `' d  T6 P2 i6 U2 x/ v; Y( D0 l- W  f
  S4 h6 d9 g  U- x0 ]) G/ g
1 X1, X2,……,Xn9 d  n2 d# F( z( b4 S8 c$ F+ i
2 X1, X2,……,Xn  {/ Q) z+ E- u/ ^6 \
M   M
" L) I2 I; H; \, K# T$ zM   M8 ?1 z$ c4 N' D9 x$ i
k X1, X2,……,Xn0 E7 S! f: P0 e+ g/ t
變異數為 。
% Y, A: y' Y) X: Q0 ]5 T& R1 I3 }& [6 B+ j

8 M' j& T9 ~8 o# K; T8 a% N

0 m3 @) X) D( \9 q+ y% o9 T
3 g7 R7 G) J/ `1 ]: I; Q
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