基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
& _' A0 f( V$ z5 o9 C7 g6 T! [將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
5 n% k- V  C) Z+ E. i, t顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
& I7 e9 M5 A7 S4 `+ f% ]: h+ _5 z判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
" M, I9 `' V3 a: ~有所了解。
單元大綱
+ _: q1 Y+ O7 ?在本單元所介紹的常用分配,包括：
一、基本機率論
二、數據描述方法
' d  d8 |8 g+ u- \2 i三、機率分配（群體分配）
9 R* ]; p. d- {  \" V1 ~( r1 m! i1. 不連續機率分配（計數值分配）
) m+ H) T" @; Va. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
b. 二項分配（Binomial Distribution）
" D. w& e2 B, Ic. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
3 o$ v( W8 N- P0 Q% b* g四、統計量分配（抽樣分配）
1.統計量之抽樣分配
a. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
b. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
c. F分配
基本機率論
( V# [7 A8 U0 t此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
8 U7 ~. J  D; n母體與樣本(population and sample)
+ W2 w& V$ y9 f. H( P( R5 V母體(population)：一組包括所有項目的集合。
* n6 t4 B! I4 t+ P# Y6 Dex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
8 ~, q% d8 x, Q則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
# n+ ]& S1 K  c2 c# B6 f9 C. f* r+ R因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
ex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
9 u2 y6 M8 @4 a: B, [1 {取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
0 Y  K& _4 ]  U( z$ f6 ~參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
* M2 g! R) E" h統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
, e8 k/ G' I, O; o值。
4 ~9 X' e8 M7 F3 ]. }7 b. Z機率(probability)
機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
3 W1 S9 o1 N% y2 x) f可能；1代表確定會發生。
機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
  U: k% [0 v; ~  H的機率計算方法如下：
) J0 U: Z+ f" D4 RP(A) =
P(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
N：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
( N. J& u# T  h假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
+ S+ O, A6 f9 _! u( l8 QP(A) =  =
+ v  {( p' j8 a2 G* ]' G1 J單純事件與複合事件(simple event and compound event)
' E) K) s2 `5 ~: {; B7 ~# z5 A! z單純事件：無法再分解的事件
複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
$ I2 m0 g7 f. [7 Ksol:
：第一個電路板合格的事件
：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
：第二個電路板不合格的事件
樣本空間S由四個簡單事件所組成
+ m% Z( Q. |: r- q0 ^+ {S = { , , , }
各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
: v0 l+ m' |! z0 L+ s7 }8 P={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
9 Y+ W" Q* F' t9 g如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
# X) q7 @5 @/ e0 P, A# I設每個事件發生的機率皆相同，


2 m* V; g$ Y7 j5 X, I; u) I* \/ j
* ~) {; i$ J- L- _' h" V加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
  L+ M) m2 m3 k5 T5 U乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
! A5 q4 i9 r4 YP(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖
9 c: q# Z, I/ E% z- @- h" o
1 ^+ v! w( K9 r+ l: O獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
! g7 Z$ \( `! S4 `9 ?$ h故A與B為相依事件。

! \& t: `0 M+ ]例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
6 q1 K4 u, N5 Na.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
6 l6 q9 ]4 f6 E* `3 h0 U, r' \d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
% r% K) e' }1 U5 O, p2 R, M6 n是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
7 y# g4 d/ C- k+ x  J& _9 e$ [e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
6 g0 O( t  W8 D4 ?. k% Qa. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
0 ^& E% k8 O/ r) R1 T: ~P(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
; u& S2 c8 M3 \" C% U% x: G. e8 nb. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
' y) f! L6 L( o# r) A8 }=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
8 c: f8 Y+ G& `: ?所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
8 S6 b8 C, H  U所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
6 R& \% ?# s4 M# M3 m" y於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
4 G! j/ U2 {, k, @1 a[ 中央趨勢量| 分散度]
' u( m. p0 b& w3 [* p
( n8 @1 e, t) |* ?4 V8 C; ~統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
8 K! T* y& @4 o0 U2 z: Z9 U% y3 D量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
" {" k( P8 s" K: S% |  {3 l1. 中央趨勢量的量測
3 y+ U' v3 H) g" f/ Q" f% Y- g( o2. 分散度的量測
$ }# b( Y5 {6 R2 m中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
" w, b& [9 `: q3 j3 X2 aa. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
. \+ A8 b1 E0 Q+ z! p2 e= 。母體平均數以 表示， = 。
( a% a& V, g1 l2 C例題a

b. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。

c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
/ d; Q( d7 P) m: B截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
. g' a0 u) s: G' _" b# R/ S比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
% s( Q8 i. Q$ G, P) m! ~% x出現頻率最高的值。

分散度的量測
2 `: q0 m& o) \# c+ L  K4 A分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
1.Range:在一組資料中最大與最小的差
R= Xc - Xs
↑ ↑
最大 最小
4 G  g( M" D1 F2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
2 Q. S+ `0 h2 i% P$ {0 q3 W3.標準差
* d! U+ X1 W. h) Z+ s( u4 s. `, D
/ B1 w* d* u$ g0 J; _3 bEX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
, w7 W8 l& Y# `4 T7 V  k* o樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

EX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
52.5，請問中位數為多少？
8 v; F/ e4 ]( r, Usol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35

; N! j3 ?" ?7 J) Z" x" ?- `
EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
% s" J3 Y, [- Q- G7 V取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
100 120 120 150 120 100 120 120 100
, ^0 q# i0 |* O; R! r; Y# n  q% D
3 m; w, ^7 a  V! \機率分配
' }+ ?' w- i9 S- \4 s$ X3 [[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

1 [# H1 E% S; o* I2 X機率分配(Probability Distribution)
' }, ?5 u# X% i8 p/ n機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
可分為連續和不連續兩種。
a. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
3 r. F; q+ s4 n3 E$ k* `# sX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
, |! v1 M. D: z3 f# H8 {0 l) ~b. 不連續分配
2 g- q2 J/ g! T5 H: w2 L, Q若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
P{X= }=p( )
9 a( k8 @" ?, }" o

! i* V  a3 ]' |5 N
& R0 C/ x# @+ Q3 l. R  v& _超幾何分配
從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
* F8 y" E0 W( J, A% U如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為

' v4 E5 z/ W' W, A

若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
7 p# K! d. g) S4 ^# dDistribution）
! {) n5 `( u* I7 y# R
2 Y5 H/ o) o/ x% w7 c: V6 X+ I
# n  X4 I) _4 a7 `5 a/ j% e) s
二項分配
6 U: i0 t2 h8 m) `% [. i1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
' L  w1 h$ w' a! C3 I，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
: r& |- a  e. y  o/ nf(x)＝0， x＝其他數
則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
0 D3 \) E* v. g0 R4 o( n7 A試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
( w- M: r: P8 ]) m8 D- B假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
# t) L" l! V1 i此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
。
超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
" h* p# F. C; {) C三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
2 }* V/ p/ ^/ M1 T4 {, V& B) F3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
0 K" Z% s. F2 N, E2. 二項式的展開


# \0 k( {$ R' f6 ]) n" Y/ p0 W
p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
+ E2 Y* T) ^. k9 m2 w, \* H% {; tq＝1－p：B事件發生的機率
0 i5 q& H, A) Fn：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
: ]1 b5 L9 m% d4 w/ D9 x變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
q：1－p
3 \  P2 B3 Z6 ~
1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
% H# W. m  S% h9 m( \1 o2 \
$ D& V) b$ Z  k
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
, J" Y$ I8 p$ ]' a6 m7 v& T8 ^! C形：
a. n ≧ 16
0 b' `$ U% G2 H- U2 a/ n5 ub. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
7 {$ \. ~0 O- x! Z/ q) k應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
- R1 L- |2 ~& r; H/ o1 i- Pa. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
- ~& }  N6 p8 ]等。
  J  w" C; Z4 k9 pb. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
& ]) q2 ^8 F/ A6 z+ o& j+ i- P; x等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
( i1 ~* u/ H( E! z; y. k( |1 n, P變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。

常態分配
. s$ }; X0 Q1 m# g; ]' Y5 U# ~1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
" k+ \# w7 b6 U7 ~9 v6 g* _3 W6 g2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
% Q7 ~, a9 ?# w6 w* w值等
* z* P/ o* ^% C0 d0 pb. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
c. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
% u+ N: {  f8 Z( D) dd. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
8 p- ~! F: Z. x/ x+ E& p  @( ]e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
  V+ K8 o; N! I4 Rf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

( n. B. y# f* L" E  t9 _# [
: J/ v$ W$ E5 o" a" q7 g; `% Z' e
% P, b8 K2 Q& a/ h" W( H4 w3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
分配(μ=0,σ=1)：
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
3 z' W- O& X8 [/ l之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。



4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
0 k" P! ^$ {8 q* y. C9 x中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
3 z( M4 Q! X8 x. J0 f( g% ?5 n5 @。
  ?$ U' b, {2 [; C+ k當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
4 @) s% d& i8 W* d* k超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
& w9 S# S8 Z2 u9 g; b4 g明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
, `! e4 O. K# I+ [: q; H4 qN＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
np＞5
不良率在10%以下，n很大，但
/ I; J( U; V7 f不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
! x! I- G+ P6 i% f7 Wp＜0.50
- a: f% n0 o* l8 v5 Bnp＞5
" \) K, g# p# L8 }( [" r不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
) B7 Z& W: v& l) v" `: D二項分配→常態分配
np＞10 樣本數很大，不良數有10個以
( b) c, v' Q& n- d- }% C上時
卜瓦松分配→常態分配

抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
% ~* v( n* v# b5 O% \2 R0 p8 s在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
由樣本去推測群體之特性或相互關係。
8 U3 u- a9 q5 k' o3 P3 r


/ @. k" e+ s- a1 c' I' ], I1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
( {! T- P" L& l$ Z* y" h# Z. j數，則

  J$ N% O6 j- k* v5 P
  j( z* D0 \4 M! ]; g

6 J% K3 [" u( i: Q  H) d
∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
/ R+ n$ n) y& z  s" ]$ m8 @# w於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。

& @  O3 k9 P+ L/ |# v

( K* t; T  l0 l2 d6 F例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
% r3 l3 w$ ?, `/ K1 _V( )＝ ＝1.8

3 f+ V' `- ^3 g4 _4 A* X# F! T

, n3 }. V+ v. ]% W# c
6 o4 C9 N$ h+ t1 H/ r+ V
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
. X* x' J9 O  W( I
3. 樣本標準差（S）之抽樣分配
$ T; x+ h& A6 U/ W$ M9 S8 k

; C* k6 }  |3 }. x% c
  y/ F: j/ ]% h" f! _9 i; s各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
0 Y4 `7 w+ \% G6 V; G
6 L! n) X; A- o4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
* \5 R& m' P8 g9 {M 　 M
: N( x* n) w+ G- bk X1, X2,……,Xn Rk
　  組號 數 據 樣本標準
差
1 X1, X2,……,Xn S1
2 X1, X2,……,Xn S2
4 w& C& I- S9 J: Z9 S$ J8 Q& X6 dM 　 M
# J0 Y5 _- P# N) @* U+ qM 　 M
k X1, X2,……,Xn Sk

E( S)＝
; B9 \7 A8 D+ R' z7 p. u* I各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
不是一個常態分配。
3 f/ p7 P& ~8 X, b

3 ~# _, r' T7 y定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
+ n% x) \0 Q) O" s& h" F隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
  s1 X) S! I! J限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
* _  m, n! l* o% R9 ~" K: R" q抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
# t0 j3 l) Y6 B+ T( n5 t括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
: `$ u5 E3 r$ S4 ?+ C# o7 ~卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
" i% d+ S6 s+ e- Q　  組號 數 據 樣本變異
數

2 U, C) C6 E* Z! V


8 e( E% j* }" I# W2 E定義於常態分配之抽樣分配
, g# Y& _' J8 _假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
1 G8 [0 k; A: O限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
% c/ c4 o" L9 p9 l0 k2 O! R抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
3 T" G7 y  ~( E, Y假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
數

1 X1, X2,……,Xn
' x# c$ `7 G' z1 U6 y: y2 X1, X2,……,Xn
M 　 M
M 　 M
k X1, X2,……,Xn
6 z1 O7 r4 }$ A# P, s變異數為 。
7 L. h0 ]/ S; T, l& z  }

8 n* O+ e6 b6 `3 J, n  m7 Q! a