基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

' ]: L7 ~8 J# N) C8 u; j+ F

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
& ?9 @3 e8 |& B, S* ^# \, `' V法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
0 h9 ^) O" S) w# w% G6 o3 k質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
( N4 A# [! t& C1 M/ H單元大綱
在本單元所介紹的常用分配,包括：
% {0 V& u+ C' M, v一、基本機率論
9 u" w1 s2 ^+ u$ `: r, o4 n二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
5 L' C% Y# T" O- Oa. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
6 s/ W) s9 W5 A) K3 ]  E1 D) zb. 二項分配（Binomial Distribution）
c. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
8 M/ w) p6 }% a: \2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
6 c( [: Y4 X, ]9 Y2 r四、統計量分配（抽樣分配）
1.統計量之抽樣分配
a. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
4 @. L- w# F4 I5 n' W- bb. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
; o5 c$ r' h3 p5 X/ @# @. Sd. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
; b8 ]4 `  G+ h! e: O6 T2.定義於常態分配之抽樣分配
9 p" f! ]7 g# O- S8 g; Ka. 卡方分配( distribution)
# f# v$ u) s+ Z7 ~/ r6 }; Bb. t分配
c. F分配
基本機率論
3 r9 s$ w5 X% @/ v此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
* W: F+ d* T) b' }" b演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
9 W5 f2 }1 }. {& C0 c# l7 P與未來結果的分析。
母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
1 H6 _4 b* u! a. @: \5 xex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
# s/ ^4 @$ b& ^) d  [則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
' R/ G) t. b+ [8 L0 A因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
! p. O# o# X5 Q所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
. \; A6 [6 O! d1 P; v1 hex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
: q/ J/ b: }' d3 f取500個。
) [5 W0 O( A: X1 Q# g  O, m參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
8 M. B5 }2 V* ^; iex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
% a' ^3 A- D" ~0 o4 m# w統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
2 C' S! Q' J! l6 Q9 y3 g: tex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
- h* k* K% [% z3 D! \值。
# A, l- j% j* h  _' o) A. E機率(probability)
. U$ s  C% R6 P9 ~! U; ^- V4 c機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
$ ?- Y0 o3 Y. ~6 ?可能；1代表確定會發生。
機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
' R1 B+ |1 r, Q( r% [) g9 C& z的機率計算方法如下：
2 S9 y# T' }$ E- h4 `8 I" jP(A) =
+ ?* u6 w3 G0 L1 T; E% P& F9 Q1 |P(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
* |4 T, M! Q3 Z: p) qN：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
- E1 d) N: n. Y% c$ k- Dex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
/ b+ b# p, d% M1 r  x樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
% K# b+ H6 z; VP(A) =  =
8 H( K* i- F& u/ V- o單純事件與複合事件(simple event and compound event)
; l$ Z0 j$ u3 `+ x$ w$ P- z0 {單純事件：無法再分解的事件
- f8 x! ?1 n/ y; q/ s5 ~! |複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
. J$ J5 k3 Q9 P7 `1 i事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
sol:
：第一個電路板合格的事件
：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
：第二個電路板不合格的事件
樣本空間S由四個簡單事件所組成
S = { , , , }
/ T( K" w1 ?7 w- U. }各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
' M" @9 d* n4 N( a={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
! G( v" x5 d5 G7 `3 T3 k" g4 a如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
設每個事件發生的機率皆相同，


- w  ~3 H2 [7 C8 y2 h# P
8 V' A) ]$ V1 b$ E# L* o加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
5 S$ J. O( n6 P9 W. r乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

. h  j8 K. g6 y" n, {  f% b* L獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
8 b, o, V% P" [0 ?5 |6 G. M立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
2 }5 ]; ?' u6 }3 w& I1 a互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
  K' H+ ~. k, j9 M& F$ q故A與B為相依事件。
; C& z5 E; b/ t
  v8 Z9 t: R$ x3 P- T! c) ^例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
! c$ {0 a8 |$ T; \板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
; a3 y5 s$ H! @a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
7 N+ n! C, k, t3 ^& ~6 _0 Y5 F* Wb.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
, z. y, H/ x: U1 `c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
% u( }/ C7 D: a! v( P正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
8 `7 h( L) b  B' `2 S. k% a. ce.在(a)中A與B是否互斥？
, L9 H' S, T( b7 W; V8 Gf.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
0 o3 W+ e" c" o6 b. ?) z- bP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
# h! }5 q' @0 Z# s8 N6 M! \! BP( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
1 a6 N. j' k  i, k- S; X所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
$ G9 I# e7 W% q9 d; P: ^% v4 Nc. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
) f& j+ h3 E$ Cd. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
% z5 @5 e1 V" K* m於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
4 A* S& y1 F4 o3 `1 Q/ q2 N[ 中央趨勢量| 分散度]

  r) c" c$ a3 a) X+ P% U: l統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
# E+ m9 v. R( \! J( h( I6 I1 k: k- K( C敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
2 W  a) K% s5 [( X量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
0 u. O% R6 l/ L4 n4 h$ }1. 中央趨勢量的量測
2. 分散度的量測
. d1 I3 N6 n4 z  o/ |( j中央趨勢量的量測
2 |, `) }& i$ T$ N: G: w, m在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
  I! w# P; R. U- @. ]決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
1 j6 }; X' f. Q0 |+ K- x' i8 v2 ]; k9 ja. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
= 。母體平均數以 表示， = 。
例題a
8 X: u6 a( b* w! I
. b$ A8 v" A' @; Wb. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
; n3 t" N  i5 d4 R- Z/ S5 i個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
6 B) i$ q& V! }) G8 H因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
) {2 |/ {; ]3 A' y/ G  n2 p% f
c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
7 K' `+ h" f+ l1 F3 u' A比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。

5 C, s2 d9 ^! o( U分散度的量測
6 J/ r( I4 G! D5 U7 [; K# E分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
/ g- Y* g5 U2 T5 [2 u2 v4 q. l' Y1.Range:在一組資料中最大與最小的差
6 R0 O3 g; d0 w4 M$ `5 q5 _R= Xc - Xs
, b9 b0 g/ D) I0 n! `↑ ↑
& W9 \/ ^- W/ R1 n2 b最大 最小
, Z, t7 J8 B/ U% R2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差
3 Z! e' e5 P; b0 D
/ A6 I( ?, E8 E! R1 _1 v  _EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
# S- R8 l. X& m  y- S2 f) c樣本平均或平均等待時間： = 分鐘
9 B& V8 u, U, T' B3 \- @& u6 v% n
3 S- C, F# g  p* n8 R. K; I' s) P' KEX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35

, k8 S& h- k& s
EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
100 120 120 150 120 100 120 120 100
& r$ G1 v+ f) x5 m; ]
3 F. i7 _. Y( N機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]
8 K+ b* H9 E! f. k
機率分配(Probability Distribution)
) v  c5 T9 Y: x0 d1 ?) K4 v機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
' v& ^. o7 x4 \8 D, F可分為連續和不連續兩種。
0 V% }' Y" K! Ka. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
# F' K( d/ G7 b1 \' WX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
% U9 F: b* ~2 x) a- fb. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
P{X= }=p( )
# P& O" P% W$ }+ g' p. b. m% s0 s
9 G9 n1 K& j& ]2 |
# l- z! e, J! L8 k* a) ^7 a
超幾何分配
# D  C5 t1 s: ^* F+ y從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
9 w# S& P+ S9 Q3 M7 J) X$ Z如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
$ f% V  k2 o9 l8 ]0 h機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為
: j: S& {6 [" j9 B
: H8 x! r( V  Q! Y, o
) k" w( Z1 d# g1 R7 g! b5 E2 {6 O
0 o5 {6 R5 z: s; l; \; D若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
( n- J8 |2 k6 Q/ kDistribution）
$ n: N4 q, ^; P, D3 f( w
8 I4 P: }% T# N4 e# h6 B
& J  O. u5 O& Y) p$ C- {% [! x9 i
& i: k6 r1 d; v二項分配
+ `( C% K+ w# H, Y  v0 B8 I1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
$ Q6 @2 {0 H0 R3 A2 U，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
9 n# |  j. h; A" d/ X" B" k" Kf(x)＝0， x＝其他數
$ E  {! C3 H. p. j則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
. |0 p6 @9 v& J9 L  H等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
1 J' \/ Y1 b( v# G" Z. ~試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
下：
假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
。
' S5 R9 a& g- v1 V超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
: x9 M* {: V( {8 I" X* ]1 |3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開
  I- k$ [  L: P2 u2 H

7 d6 ~/ _: o. ]& N
p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
- F: Q1 g1 `2 k5 f- H; q* fn：試驗次數或樣本大小
+ h& y4 R" T1 D* zA與B為互斥事件
$ z* w7 b  J/ H& L( a% u3 R3. 二項分配之平均數與變異數
0 m+ k, j4 o, T6 H, P平均數： ＝E(X)＝np
" a% j2 @8 f/ s6 Z4 ^" v4 w6 C變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
' r  {- d& R' X5 e# g+ z$ x2 Bq：1－p

0 U" }0 J# V1 b8 d1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配

8 l! M4 D4 V- n0 U! n- o! w8 K
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
/ i' g7 P; V! O' o卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
形：
1 S7 a1 Y& Q9 H7 t$ q* T  R3 ~a. n ≧ 16
6 _& ?, ~0 @3 ~# M/ `2 Yb. p ≦ 0.1
6 ~- \+ I7 t4 P8 Tc. N ≧ 10n
9 J1 f0 X) H+ I" k) W- u應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
1 ~* O4 [" s5 Y! m3 D  i; `等。
b. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
* O( d& J8 b2 b+ D- E等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
變異數： ＝V(X)＝C
# d' e: b+ [; \& F1 O+ y卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。
9 h/ R+ L: g9 g: y
常態分配
1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
, {4 k2 C6 n; h9 w. A－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
# Z& h- t  J% v" e! s0 J* F4 G2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
$ \& x) G* {  ~9 G4 w0 a值等
b. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
3 k/ x$ U/ t/ _1 z( Xc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
) _- p; \/ o; f" s- v6 Sf. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

* j9 ^- T# Z7 T9 K6 k

3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
! T9 C* F# V% y3 ^! c分配(μ=0,σ=1)：
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
1 U$ O+ l$ x. I: ^) L) `4 N， －∞＜z＜∞
" j1 ]' V2 O" G由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
& d% x% C6 K/ C3 b  A* f, w! k

) S) w7 K+ H' b! N1 L3 x
4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
5 c0 p! a; q9 r7 Z3 u。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
1 Q, H+ }5 X/ k7 k1 V在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
8 p1 `& [! m+ u6 d! g) O此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。
+ E2 H5 t  T* R0 n  Z; Y  q$ h
常用分配間之關係
) K1 {) |+ o5 f- ?8 ]; t超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
- n9 E3 b0 \# E% c. ]. N+ F1 P明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
8 ?0 |; i8 Z9 U, FN＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
np＞5
不良率在10%以下，n很大，但
不良數不超過5個時
7 Y; i: a) H3 N二項分配→卜瓦松分配
p＜0.50
np＞5
! _0 A5 k# f6 k  ^5 r$ r不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
1 [- [3 C; E% z- z4 `- k二項分配→常態分配
3 j& [$ P2 P8 u$ S7 ^% onp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
% d' J, _5 h6 V8 ^; i  p; l+ Q卜瓦松分配→常態分配
+ h- e  ?" Y5 k  i% ]& i+ l* `9 Z
8 R  u4 N0 o# k& S- U$ l4 c) G5 V抽樣分配
* k% V- e* r2 R2 B- s# U- N) ?8 o) x[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
& V. J( I$ g4 m- f8 @6 c  U& p由樣本去推測群體之特性或相互關係。
# v: k, e) m( k$ x

2 M3 T, [. D$ [. @" z2 g0 `
1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
數，則

2 {! s+ X% a0 m8 A* F) P

5 V2 ?4 i4 N' @8 O6 ~$ I
4 T' N! e% G! e) O
- r* Z9 d* Y1 D/ v4 y1 t5 A4 g∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
. `5 u+ M9 J4 ~9 f
7 U* K" |& A' ~; u- H( V" u+ l

( L$ l' l2 J$ K例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
8 n- u" C0 H: R& ?6 V構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
* O# D3 v( N* b6 M5 n' T% DV( )＝ ＝1.8
( P& N/ T  U" t% [


; |$ c" a' L* s- t/ _+ N+ _; \

) U+ s& U2 ]0 Q! ]/ h  g各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

3. 樣本標準差（S）之抽樣分配
! G- g# L# m- Z3 X1 B! E2 u& r' x
0 O/ r* R# c+ _! Z; K# z! B% i
5 \' G) Z; o: _6 u
. n7 H! u: w# v) v* J各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
6 x) c8 m; ^& |1 J; d% h0 ^  C
4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
) d+ N3 Z/ M0 ]/ [1 |! |" _+ \M 　 M
! ?+ @; \' y3 L1 ^. Y8 sk X1, X2,……,Xn Rk
, j  P& ^+ i/ l% e) ]　  組號 數 據 樣本標準
& h# N8 N# W, f% i差
4 @* w9 F1 k1 \9 p) @1 X1, X2,……,Xn S1
; u4 y5 J2 Q- S8 z' j1 m. |2 X1, X2,……,Xn S2
M 　 M
M 　 M
' s, Y; T# M) }$ [5 j0 uk X1, X2,……,Xn Sk
# j3 D6 J& r$ @( k& Z. I! T
  G2 r6 R) I6 w5 p/ n* w* I7 W1 m9 rE( S)＝
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
# Y! M; I0 H; l不是一個常態分配。
8 A( w1 F+ V6 P8 z

定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
( P( R$ `4 _8 t抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
( N2 {& C7 }$ q  h卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
% a0 s; ]9 G$ p0 h數
8 i+ N% T) |: c/ {4 Y* n4 N  o



定義於常態分配之抽樣分配
( A! J8 y# D. H; ~# ?假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
- x9 k' r4 V3 _& ?6 Q抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
$ c9 t- h8 o/ E假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
9 d! ^& `' d  T6 P2 i6 U數

1 X1, X2,……,Xn
2 X1, X2,……,Xn
M 　 M
" L) I2 I; H; \, K# T$ zM 　 M
k X1, X2,……,Xn
變異數為 。
% Y, A: y' Y) X: Q0 ]

8 M' j& T9 ~8 o# K; T8 a% N

0 m3 @) X) D( \9 q+ y% o9 T
3 g7 R7 G) J/ `1 ]: I; Q