基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
3 M6 w2 q6 x: T& Z1 @/ r法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
! `$ b7 D1 x( W質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
6 a+ p2 Q* Q0 @7 D$ u  B: k顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
* @7 S4 Z9 v7 U* r. k# A判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
有所了解。
單元大綱
# c; F% \$ h" ]  Q, e8 j在本單元所介紹的常用分配,包括：
' }4 i( U" a/ d6 i, d一、基本機率論
4 O0 i0 J5 c  @! W二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
/ P6 |8 p# J6 n- Z0 W0 F1 a1. 不連續機率分配（計數值分配）
2 @* m; w* O8 b/ Ha. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
$ _. Z, j- H2 q, }; @b. 二項分配（Binomial Distribution）
2 Q  B+ e% K& R3 w2 P% bc. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
8 a& l& K$ W1 ?2. 連續機率分配（計量值分配）
" Y) R9 f7 _, ^. \( S! L$ Ea. 常態分配（Normal Distribution）
' z# f! B4 ?+ X1 Q2 R% |' L* l四、統計量分配（抽樣分配）
* P( ?: j0 H" w1.統計量之抽樣分配
a. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
b. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
$ |- k8 L4 B4 [: P( C# Rd. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
b. t分配
c. F分配
, G& ~3 w) @( v" L% f0 Y基本機率論
此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
母體與樣本(population and sample)
4 u8 E5 `/ s  }3 Z! A) b% [0 s7 R母體(population)：一組包括所有項目的集合。
# I( z; h8 \5 |, g8 J8 Z2 n, iex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
7 v8 j/ p7 _- j( e樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
9 ^" i+ [  H  N6 u: H* |. s& d) t2 P所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
ex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
- _4 t+ J+ B; b& M4 ^( w4 F( v取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
* w2 J* |! L9 A0 V& s  U2 O0 hex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
值。
機率(probability)
機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
7 i9 l' g" l  z; O( L機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
9 k, }+ C& y/ z+ \# d的機率計算方法如下：
P(A) =
P(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
! y8 I. i" @% h! {N：樣本空間的點數
這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
2 R4 n  c& ^" O況才能使用。
" H4 B' [- g6 N  o& \5 vex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
& F% K) Z4 U7 G$ q假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
, e: ^  E  ^5 |% Y1 A' L6 X; u樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
P(A) =  =
6 U& l3 X  C8 d( H# m# S單純事件與複合事件(simple event and compound event)
單純事件：無法再分解的事件
: ]3 m; A# S. U  W複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
sol:
：第一個電路板合格的事件
：第二個電路板合格的事件
+ e- y* h9 J/ }: j, u：第一個電路板不合格的事件
* `% g% I4 U! ?0 Z：第二個電路板不合格的事件
" M" P3 U! `! C: |; F9 B/ @樣本空間S由四個簡單事件所組成
8 O0 U" m9 e" M' K" t# `$ @9 f% D4 FS = { , , , }
- h: T' V- n& A: o: k; g: N各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
1 _8 w+ j6 Y, k7 g={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
$ g/ N8 y! o# ^. e4 a& P4 z) v- \={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
2 u3 g: E/ P* Q  ?( c={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
( H; ]! p$ B# Z: x3 h設每個事件發生的機率皆相同，



加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
3 w$ x2 F7 S9 J2 h乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
9 W# m" ]$ H; W" N. B獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
( B' l7 t, o! ~( }9 j' ~: }  D( H立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
  V; {0 B4 n6 @7 s互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
* h( H+ h# I( [∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
故A與B為相依事件。

例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
( H# I$ U  D; T9 i4 Y/ @' g# }板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
$ q- J, h$ P0 t7 ^  v9 ?/ v, P" Db.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
  v" T$ H& t0 e+ w8 D* I& wc.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
5 W! q. O+ n, {& G; ke.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
3 b$ R3 x- f: O, u0 t! Ysol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
/ D; y$ _8 x$ GP(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
# W1 w; m. k7 P* h: ^% D( g=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
8 D( c3 [6 o- A$ n. i3 ~c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
- N" e7 Q0 Y/ g)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
+ y/ o. N! z/ o於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
7 I8 l$ u9 C5 N& [f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。
$ h4 y! w; z3 A* U/ ^# \
4 s" l4 q9 O+ ~0 T! m數據描述方法
/ ]' m3 e/ ^' e2 P[ 中央趨勢量| 分散度]
, @' X8 s1 W& O& V4 U* M
+ F$ _6 `/ g' [# `9 n( n3 A統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
6 p; J  D7 d3 v$ f. f) K敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
1 z8 N  X. N2 V' h4 F量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
1. 中央趨勢量的量測
/ u3 I3 t. r# L2 d4 U; x2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
& T: ^1 Z' ]2 b! l1 a& [在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
7 q1 J+ r9 ^$ W+ a) b1 W' g決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
& q4 ~0 ]$ x' ]4 _# [+ X1 V數與截尾平均數。
' ?* G+ V( b4 W& A8 ta. 平均數(mean)：
; Q" d, L. g( c; D/ g5 ]4 j3 f平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
= 。母體平均數以 表示， = 。
) v! k# D2 {% M, E0 D例題a
: g5 ]1 q; w5 |. \7 O
. ?1 T& g0 g/ s7 ub. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
' R3 t) S/ V' A  v9 p個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。

c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
% }, J. |* U7 z$ B( }) [截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
' J% l  R1 o5 E比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
" q! v8 R; a, J: m1 |4 c出現頻率最高的值。
, V& H/ w/ P  [/ y# a# z
$ A+ z/ i* u5 [' A( l6 b5 ]4 S分散度的量測
8 w! o4 o4 f# o5 n分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
6 k* j% w7 O. ?7 B/ o' d1.Range:在一組資料中最大與最小的差
( \6 |; n4 L! i- I5 ^+ c  p7 kR= Xc - Xs
9 M2 k! M0 c1 u& [7 H↑ ↑
" O# J1 ?5 E8 P7 f最大 最小
: L# i" ]/ B) r3 \( Q, O& d  G+ h2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差

  x* ^1 ?$ o0 |2 t* l$ [' lEX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
樣本平均或平均等待時間： = 分鐘
& h- ^4 |* M% Y! z( I
' V! L! R% o. U5 `3 j6 G1 eEX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
5 I' d# j* L( _2 W52.5，請問中位數為多少？
& x9 g( K" W0 E6 I3 |sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35
; d5 J  M! c! i

+ y" G* d% E/ ]- J5 PEX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
: u, s2 E! X% Y8 g4 f! N取30個樣本如下：
5 i0 [$ W+ e2 u1 N由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
( Z) r$ E- o0 u) g* D, S100 120 120 150 120 100 120 120 100

( S: G9 _) O9 a$ k& s; V6 q/ q機率分配
* x- D  a( N' n/ \0 ]& r[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

機率分配(Probability Distribution)
- }# ^$ C' S7 j' q機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
2 r5 ]- z1 \  F. b5 L7 u可分為連續和不連續兩種。
* y2 j* b& }7 ]/ }) Oa. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
+ R' }' ?. b  r; OX落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
b. 不連續分配
% ~+ F; O% y0 P5 q( P若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
P{X= }=p( )
; a: W+ m( k5 u( V# q% d$ f/ i

, u' Y4 v* o  o/ q
  Z  P5 T7 A2 r超幾何分配
從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
, O) j4 Q- e5 y* V) G3 ^+ o7 O如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為
" O8 y$ i4 Q  k9 b( R' v2 V

4 p: G9 ~; V6 T; k1 |3 k3 q' x
若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
Distribution）
; F8 W1 Y2 u; D$ j, ^1 j7 ?0 l# N

0 Q5 m1 c+ p' {, l% W
* f# T0 [5 a7 D: F& M& `, b- K二項分配
  v% w* k+ l) n" l) v  Z1 {5 T1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
f(x)＝0， x＝其他數
; K) f/ a7 U8 F3 k3 r- j; Y則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
" b1 W/ s3 ~: }/ K等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
9 ^2 @; `, d9 R下：
假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
4 W( X" `/ B* U! E。
! e% L4 z  r+ Y9 N. s/ Q+ X超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
3 ~' y( Q1 C2 x8 I" I三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
2 Q7 H& C' c+ Y! I+ z3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
7 r) \' c" m! k0 F2. 二項式的展開



p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
n：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
3 \4 B" u( X2 x0 d變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
  l4 D$ t4 ]2 }1 P7 d" k* qp：群體不良率
% O3 i1 e6 w6 I8 f& i' Qq：1－p
" \6 d/ L8 e3 l: }/ u4 a
# S( g2 p" O2 @- n3 p* Y) V5 j) A1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
3 {0 T5 N# h+ x) O: f
  A" ?2 B1 G1 }! O  k3 B
* q+ k- X) I: f7 n則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
! Y  R. V* j$ R+ ~% b0 C卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
形：
a. n ≧ 16
! B8 B% k3 ]( r6 w% Bb. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
" V6 o) c9 G9 d5 x" c' W; S應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
4 z1 R, O3 m) P1 Y, r6 Ea. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
4 s: ~; c+ _+ x% i; I) cb. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
& v! w5 ?7 y; n平均數：μ＝E(X)＝C
0 u. h( q( `  G9 ?變異數： ＝V(X)＝C
! ]! g; }5 N% E; T, Q' u卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。

常態分配
; f7 P8 @3 V# Z) d1 w1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
$ A6 Q1 r5 i! z+ S－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
( V6 L; U5 P% ?! b則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
; `  G5 ]2 O/ e6 F8 ^2. 常態分配之特性
6 j8 h# Q' P5 Z, x4 }; ma. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
6 Z/ H, b/ s6 D( `6 U  Sb. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
c. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
d. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
f. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。

# \% O) e7 I; `: T" g

3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
. B5 ?3 z+ J& r4 `( n- f分配(μ=0,σ=1)：
) i6 z, H; N) y4 m經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
! s* R' L8 o; h- I: h8 z, J- E


& J9 N! v2 ]# ^2 s$ H" P; D4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
( v/ F4 q5 X% J' t/ D/ R品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
。
" I$ N) j' Y' u: e當n→∞時，f(Y)為常態分配。
: |& h% `9 a5 y; M( q% M5 l因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
明：
5 a+ T- q1 T4 J- E條 件 實 例 可用之近似值計算
# k5 _# ]" D5 K$ W& MN＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
$ g8 F  z7 R# ?7 f2 {! nnp＞5
不良率在10%以下，n很大，但
/ S) G2 M7 j# `8 b  u4 E不良數不超過5個時
. ~, l( s# i, [1 w- g二項分配→卜瓦松分配
. \  z, E) x7 i* ^4 W, M" x7 qp＜0.50
np＞5
; L- z( t: Q; q6 E, r% @+ n8 @不良率在50%以下，n很大，但
3 J+ I& m1 L; n% w, Z4 n不良數在5個以上時
5 \  k! C/ d0 h二項分配→常態分配
7 I. s- {0 L# ~* ^* Anp＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
% y. u1 k7 g9 v; r# W卜瓦松分配→常態分配

; G8 h7 d+ Q3 q抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

統計量之抽樣分配
% P0 }( ]; A* V$ T( ~# F( D9 r" X在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
  D' Q& v, c+ @3 w由樣本去推測群體之特性或相互關係。

! Y  A; i$ V& w6 B2 S

1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
) O  a1 e8 c7 @" l0 j數，則





5 S$ G8 k4 J2 W% z& G3 X∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。



例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
- a$ i0 F0 R% j9 a7 B9 r構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
# E1 ^1 s+ s) kSol：E( )＝ ＝30
+ Q9 Z, E" o, |; e- eV( )＝ ＝1.8

5 E8 ^, S( ]1 q; Y, E


+ E( C- |" ]" P9 E2 \9 ?% ^% R: J
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。

8 F) o: K+ |5 N" }9 b3. 樣本標準差（S）之抽樣分配



各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
' F3 Z! Y& M# u( o2 z  G
$ }0 O' s# p/ b6 A* f- W4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
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　  組號 數 據 樣本標準
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定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
( P$ h# r! V- u, j8 U" h( g5 C: A隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
5 o" w: a# E; f8 x限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
) G! R9 d% B2 B# J% Q) \5 g卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
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定義於常態分配之抽樣分配
( ~1 s8 r& T: E1 i8 I, v假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
/ H2 l* A! l) T抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
2 G  k) b5 X3 O. F& a/ x卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
5 h3 h, M, |6 n　  組號 數 據 樣本變異
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