基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

& S3 ]/ p% [) D% o1 q. V

單元目的
將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
2 l$ l' y* {, i顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
/ J2 o, W& m  U判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
; K: n- V& o8 E, E有所了解。
/ L, A2 _. J4 L單元大綱
0 {" ]! D. B3 l7 r. F5 S" N在本單元所介紹的常用分配,包括：
- v6 o2 r# I5 p5 S一、基本機率論
1 e2 V' |+ }) Z. `! Z0 C' n二、數據描述方法
三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
9 j4 f$ y) o5 K1 B8 n( za. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
* X! }; y& v7 I. I; d3 Pb. 二項分配（Binomial Distribution）
+ M& V7 J2 c; Ic. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
) o# ~4 h2 z" o  b- A. N2 ^2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
四、統計量分配（抽樣分配）
1.統計量之抽樣分配
a. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
4 X0 e# `( Y: Q9 s8 Xb. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
# L. |: P, Q& L7 V5 _2.定義於常態分配之抽樣分配
a. 卡方分配( distribution)
' P& Y: U3 s( e+ J) Rb. t分配
c. F分配
基本機率論
此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
4 h& S& b1 J, i* d$ n3 m# d" t7 I1 }演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
與未來結果的分析。
母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
& d7 Y' x7 W* \( c  K4 x- C4 pex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
頭，母體仍只限於A牌。
樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
資料來代替在此時是一個可行的選擇。
ex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
3 Z! ?% s# L! e5 C取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
8 G8 S8 n! S/ \+ Y; ]9 S統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
8 y% q" B( ]) c0 `3 }值。
9 U( ^! v6 Z; m* ~9 W4 ~' w, L) ^機率(probability)
" t/ M3 g6 }' a& |% D* u# k! d- a機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
/ C% h* S6 f% c; f2 S2 g可能；1代表確定會發生。
機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
的機率計算方法如下：
2 U& F! P1 q! J1 H3 {) W* x* oP(A) =
P(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
" _/ M1 W7 w" r2 TN：樣本空間的點數
& c$ k1 g% F* O這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
9 ?4 r0 \0 Y% e* {$ L" Z5 j2 y況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
- P  f9 {# H9 U  K! m5 K5 ]( O樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
# [# ^( E- Y" I5 r' N7 I7 [, s. F5 ?P(A) =  =
' x( t; _, r( L. L0 {& `$ i7 |單純事件與複合事件(simple event and compound event)
) v) G. R7 i- Q5 l9 ~( k* |  x單純事件：無法再分解的事件
# ^* X$ I9 K% F: V0 a' D複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
ex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
% d% P, R* W# I. q事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
, _, _; p$ [) p* n9 j" \sol:
：第一個電路板合格的事件
0 k1 y# m0 u/ O8 R：第二個電路板合格的事件
：第一個電路板不合格的事件
  |# F1 Q8 l. _+ I2 S4 |8 z* I: P：第二個電路板不合格的事件
" u3 D2 }0 o% u4 ]' ~3 v9 a7 S樣本空間S由四個簡單事件所組成
S = { , , , }
各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
5 T* x8 s6 o& |" |! _$ A) O={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
7 P: `: V2 p3 f={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
# G; z+ I1 {+ A1 x3 k# d如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
2 O+ x$ [0 X1 A% w設每個事件發生的機率皆相同，
. w+ e' l1 A  x7 b0 A


3 j% q$ Q" b9 X) C7 M) g6 g! |加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖
# b" K- n: J( D5 L
獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
$ S& C3 i+ [; c8 j獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
/ v" [0 c( E  e0 a1 `互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
' K0 Y& ^5 `% ^( p2 ?( y∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
( i- o! t& U+ t/ k% d( o故A與B為相依事件。
# _& ?1 W" _5 ]
' ^; t1 q, ]0 O5 ?  Z4 J例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
& [. W5 v: V) x- ^板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
8 a- D  }8 E2 {( q! Fb.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
% _; [9 E7 ~& M, S+ G' Z8 s) q: c$ R" Pd.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
& b8 q8 y2 O. K4 D" {- s) ]2 t1 x正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
- S- g# \- B9 N8 e) d/ n! d是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
, i% Y! p& Q  n$ U1 P) I! D* Ne.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
5 ~0 c; \& g* z; N: RP(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
* d* o% F" T( C- h: wP(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
P(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
1 y, z# `, C- [, q2 j- P! P' cb. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
$ K7 t4 x7 w1 `7 U2 ]0 ~P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
# q" T# X; X* D' c% E4 v! v. ?所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
/ C& L" \( y! h% {d. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
: E% Z: M. C! a7 }5 d( J)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
/ a. d' B  q" z5 b! O所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
. I5 g! b% z! j2 r& \e. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
f. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。
' t  G* |6 W/ g4 v/ l
1 U6 _3 \/ E7 u" l( x數據描述方法
[ 中央趨勢量| 分散度]
) ~) R1 c* y+ Y5 ~  x
0 Y* U9 p$ Z4 C  G2 Z" L統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
7 @- I/ R; @* D! m6 x敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
: v0 K# r8 Q: G% s. g5 q量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
5 I1 A5 {' ]" L3 x; f% L2 y, O在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
1. 中央趨勢量的量測
2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
! z2 T$ S. H: ]$ {- l( o決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
數與截尾平均數。
a. 平均數(mean)：
平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
. m" T" D0 z' N: U= 。母體平均數以 表示， = 。
5 z8 \0 u- b9 {例題a
. d) B9 n/ d6 P. Y1 [2 |
( y6 t5 n$ ]+ y' r, Vb. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
! Q$ |  |4 [& w! O個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。

; m# G( f' @& b, \. E; ]" H: Qc. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
* ?3 O- F. g( H) [. G8 s比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。

分散度的量測
分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
! M4 T4 s' z7 f1.Range:在一組資料中最大與最小的差
' L- g4 y, G7 K0 r; sR= Xc - Xs
) o( s  w, D& j↑ ↑
% y  O, ?% \3 S7 @, y* K5 v6 P最大 最小
9 u0 E6 b. ^4 t6 q; b1 R  j2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差

EX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
, n; L3 H$ f# d; Q+ B4 v樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

0 d4 g" n" X% J1 ~# FEX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
- ^1 I- p) l/ p# Y52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35
& ~$ [) b" U- v- [
+ w% U, `% t. d) D3 u$ T
' l" c- N% a. [* FEX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
2 O# q) f3 H# }% E6 m7 ~& [; c取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
, z3 p, m* g) b' C80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
6 g" t/ L, U. J! E120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
100 120 120 150 120 100 120 120 100
" L; D8 ^9 }2 n/ }% C/ o1 \
, x! v& t7 }0 ]* I$ j9 r" o機率分配
[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]
2 j# u' K  u& J: ]* Y/ a7 I
機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
" {  R5 x+ `3 w- _8 X: ]) K9 M1 R可分為連續和不連續兩種。
. C! p; {1 g  B# s, }/ t" R+ Ta. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
5 C) G3 l# S1 C& W7 N# e$ Pb. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
, O1 p  T) L8 M8 j+ M機變數X等於某特定值 之機率為
5 _" \' T% d  NP{X= }=p( )
' l. l- Q, s2 N# O. s9 Z
- h$ ~  c# P: A$ L) {) ?

7 S% W  n. Z2 Z: d/ ]' j- \" @超幾何分配
- ?# {3 b8 B3 S) J/ @; m) l從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
& O/ u5 U1 A% h9 I( n! i: _! ~. G機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為
. N: f- `# D# ?0 z) _& u
8 \& b2 x2 U- e5 i) ?$ i8 e) _2 D
4 F: D9 Y4 S8 m# P
若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
Distribution）

8 \9 U, a, Z1 d  N" e6 u; U, [9 h

二項分配
- l$ @, v# W# F( v+ x7 t: }1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
" ^. z6 Y* y* h  @+ q% If(x)＝0， x＝其他數
則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
2 `7 d  M% @. H& }0 ]0 y& f下：
3 e  f" c- L% |( n! \假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
; E3 ?, t0 E# w" s6 S。
- p% C' H. E! _5 [超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
; K" _( P, ~) A$ i5 z) H, S4 Q1. 群體批量為無限多。
2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
6 Q" B: W, ]% f3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開
# M% |5 w1 }9 s1 U8 t$ E
& `, o5 g  ~9 Q" |- J' f6 o

p：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
q＝1－p：B事件發生的機率
( U4 a& d! h; Y: H+ U1 v, B. ^n：試驗次數或樣本大小
A與B為互斥事件
3. 二項分配之平均數與變異數
平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
8 r' S) K# j$ l2 g) l1 kp：群體不良率
  f: [5 Z/ P' C! p! T7 C5 Z+ J4 Aq：1－p
' P: j( k4 \0 b5 C- U$ G) l
- p  J* T, I9 `! _6 n  r& ^1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配
% ]3 c6 q% O' {1 [. p# f4 B! ?& U6 p
3 Y- \( D6 O7 n# R5 f* u
則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
2 s+ m# |$ j, c. e0 a- _卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
形：
a. n ≧ 16
5 j0 @6 Y  @7 h% b- c4 Cb. p ≦ 0.1
c. N ≧ 10n
應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
8 {3 }1 d: F( }: Q$ h' @a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
+ b) }: M# _; G- Vb. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
) l2 D& r/ ?$ R5 p; [2 p; C等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
. G& j  z7 k+ ~4 r5 E平均數：μ＝E(X)＝C
% j/ l4 K- i; A- ?6 U/ [變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
2 P2 V, M. l6 ^3 b9 m知，則以平均缺點數代替之。
; M$ h. `# V; B. Y
/ v" F" p/ K0 M# E+ C1 o常態分配
1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
8 q+ W! t- ~/ c# F4 C" V! U0 ^7 z) d－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
6 g' ^% @2 P  B( T則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
6 W' _4 e* U, K2. 常態分配之特性
a. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
值等
# H0 v+ Y, G$ \) w  e8 u" wb. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
6 q$ A# q1 g2 \, ~3 Cc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
, _5 E' J0 q$ [6 M' `4 Hd. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
9 f7 w5 J6 f( ]f. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。
% j8 Z& v0 U  B# n  Y2 i4 p5 B


: h! t: N9 c- n0 q: V5 S- q  P3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
分配(μ=0,σ=1)：
: Y9 }: q( b7 f. A, F2 G4 l/ a  R經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。

( Q! \1 m% g/ o  Y: B
$ f9 y: u) Y- q, S
+ _1 P2 l5 t/ j% w4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
) r# {; |: ?' w' f。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
+ Z5 d3 g1 v& f5 E% ~7 @9 |因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
! S7 M( Y! T. C% z  |% p在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
3 x0 b6 F& h4 i2 b, o. @1 T- c0 L$ @此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
) J2 s/ R( t* |! w超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
" W" y' J! z+ G2 d+ M1 q明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
N＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
p≦0.10
np＞5
不良率在10%以下，n很大，但
不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
4 }# U: w) V4 e& [9 b3 P$ Pp＜0.50
np＞5
不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
8 M% ]5 {/ w9 ?8 z9 W0 S0 F二項分配→常態分配
np＞10 樣本數很大，不良數有10個以
' b3 T# ]1 Y- G! c, ^6 [% q上時
6 v2 {7 P, F& f卜瓦松分配→常態分配
& X3 j. E1 p' p" t. @
抽樣分配
[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]

6 q6 ]$ n: ?) B! n統計量之抽樣分配
在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
# g0 r9 D3 G* b6 S# {4 g+ Z由樣本去推測群體之特性或相互關係。
2 [% m1 D' K  c4 h

* F6 T5 r* M( r9 x1 }" p. E
% N6 l. e- k8 x* d! |3 z1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
( B- v) ~; V  z假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
' w) {4 D4 Q/ \6 I: f+ D數，則
4 Y, V& L  X) l

/ g! c% M+ ~- C/ j


∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
( m1 z+ o* g+ b, N: A  C9 k. ]$ G$ z於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。
* u* d! ~& {! N# y% e
6 b& N2 x* o) l/ R+ J& Y$ M% ^

% I6 W$ ]5 i; a' N例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
" ^9 B7 \  Z# P- `Sol：E( )＝ ＝30
V( )＝ ＝1.8
; l4 z: E0 y% `
1 b3 ]4 D$ |2 l% q/ [# E+ z2 X
5 T7 i3 i" ^8 Q; K0 U
+ p9 E! F' ^0 L4 H+ p
0 R" [# F; t3 p( @
各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
2 W8 ~% e1 c9 P' U! I& J
! m1 `% ~: {. _8 C+ c' q3. 樣本標準差（S）之抽樣分配


& Z# H0 H6 l4 K. |& z- e4 ~
% X8 a! t+ F5 v8 V; z5 b8 d各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
: A& e# t: z2 K6 ~9 L- `6 B
% `9 v1 n! J3 V8 x. |4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
4 I2 M# `# o% XM 　 M
k X1, X2,……,Xn Rk
　  組號 數 據 樣本標準
差
3 C- n" Z# o# C4 E3 Q1 X1, X2,……,Xn S1
2 X1, X2,……,Xn S2
1 y, U& d  h' ]3 B9 j2 l+ {# wM 　 M
& G3 }5 T" v0 O: k( K4 W* UM 　 M
k X1, X2,……,Xn Sk
8 ?& |2 R% z* K6 @) V/ q
E( S)＝
" s$ U. t6 l: D3 D6 }# w' i& @3 n各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
0 J, D% Y9 ?9 A; P6 b- y: b不是一個常態分配。
2 p, G9 E2 B+ k: u" w: f" D* N
- A9 R; [9 g: F/ o* G: p
0 l: F: K: C! r6 ~, J定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
8 M& `* M& x# U' Q# B  [" Q隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
5 ~: g: \1 k0 Y! @0 H% `限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
" _  |1 Z; x5 c抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
$ F4 z2 @' i& H# A" _% s括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
' t9 z% K# @, c0 V　  組號 數 據 樣本變異
數
  t0 ^; {1 Z! I. g% ?



定義於常態分配之抽樣分配
+ m: N4 I# s  l假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
1 t, B# o& V  Y) M7 Q8 V6 @: ]- @抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
: x* n* `* p7 w) z, z卡方分配
$ n9 s& s$ f% K9 C3 O7 v2 k) i2 w假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
# J, J0 ^, K+ s數

- }; J* b0 e9 g* q# R0 d' h# J1 X1, X2,……,Xn
2 X1, X2,……,Xn
% q! V2 J* Q. q0 I4 O( h, ~! FM 　 M
M 　 M
9 r6 l/ e" O7 B* k  `- E7 Bk X1, X2,……,Xn
變異數為 。
: I7 A# @& P6 y

, V# f: `' u- K% ^0 o

, ]& D9 K( @8 l. S& M5 [7 \
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