基本SPC统计基础

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基本SPC统计基础

# d- e! U. c+ s9 q

單元目的
$ g1 f" M' c9 f" a( ~將宇宙間的事物與現象數量化、模型化，其主要的目的在於藉著科學的方
) t7 p( r2 j" w法，從這些事物與現象中，尋找期規律性，進而分析與探討其特性。在品
8 o6 T$ U( w! W7 X' G" S質管制中產品品質特性，就是一種機率分配（機率模型）。從管制圖上所
0 x! L: x6 c: }$ m顯示的現象，我們可以了解製程的狀況；或由抽樣檢驗的結果，我們可以
判斷同批產品是否合格，主要都是依據統計學上的各種機率分配與統計量
) F/ J' X) F4 }有所了解。
  ^3 W9 x* E/ J) T4 B  j9 ]$ `單元大綱
在本單元所介紹的常用分配,包括：
- I) l% ]" o$ t* l一、基本機率論
二、數據描述方法
; S6 N" [7 P2 Z) c3 x三、機率分配（群體分配）
1. 不連續機率分配（計數值分配）
8 y) [5 f) e6 i% m; za. 超幾何分配（Hypergeometric Distribution）
b. 二項分配（Binomial Distribution）
# z5 ]% X: {# I+ F% Ic. 卜瓦松分配（Poisson Distribution）
- A* I# N2 @' W: a+ Q7 z  [2. 連續機率分配（計量值分配）
a. 常態分配（Normal Distribution）
四、統計量分配（抽樣分配）
1.統計量之抽樣分配
: H) t* a) A; c& s: y2 h$ D/ `# y2 R5 oa. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
% [  r7 R" Y) s6 Ib. 樣本全距（R）之抽樣分配
c. 樣本標準差（S）之抽樣分配
d. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
2.定義於常態分配之抽樣分配
# y9 g6 A% ]3 G5 Sa. 卡方分配( distribution)
b. t分配
c. F分配
基本機率論
7 X% s5 Q( i2 j) k7 a  c此部份的目的在介紹用在品質改善的基本的統計觀念與技術，因為統計在此扮
演一個重要的角色，藉由清楚地瞭解其相關的原理，使大家可以更知道其不同
+ a! a4 _6 e# ~, x0 S與未來結果的分析。
母體與樣本(population and sample)
母體(population)：一組包括所有項目的集合。
( J) r2 T  c: Y" e1 tex:假設我們的目的是要知道七月份買進A廠牌湯罐頭的平均重量，
: h1 S! H5 [: o% J- \- b則此case中的母體是公司七月買進所有A牌的罐頭(可能有50000罐)，
因為我們關心的是A牌的罐頭，所以即使公司還有買進其它牌子的罐
; ^: y# p/ R+ m$ [4 J9 I% B頭，母體仍只限於A牌。
% ~% D$ A* q3 H2 v2 B2 a" ?1 K樣本(sample)：母體的子集合。實際上，很多生產線上無法量測所有產品取得
所需資料，因為處理如此多的資料非常耗時費工且不可行，利用部份母體中的
; v" u( T  {$ k: _資料來代替在此時是一個可行的選擇。
& u$ Q7 r/ X4 `0 }* xex:承接上個例子，七月份買進的罐頭有50000個，樣本可能是隨機選
) W! E& T0 x% P; m取500個。
參數與統計量(parameter and statistic)
% U. e, V* j/ _9 H% ]1 k參數(parameter)：可以用來描述母體的一個特徵值。
ex:以A牌的罐頭而言，平均值可說是50000罐罐頭的一個參數。
8 L* _1 ~: B! ?$ p統計量(statistic)：是樣本用來推論未知的母體參數的特徵值。
ex:500個隨機選取的罐頭平均重量可以來推論50000罐罐頭的平均
值。
機率(probability)
  O4 }) e1 H5 M9 T8 C7 m機率(probability)：發生的可能性。機率函數介於0跟1之間，0表示沒有發生的
可能；1代表確定會發生。
5 h: d* N2 q* t3 L6 H' ~機率的相對頻率定義：如果樣本空間所有事件發生的可能性均相同，則事件A
) l* m5 S# n$ |# g的機率計算方法如下：
P(A) =
8 |, u+ @0 v; d7 a4 uP(A)：事件A的機率
：事件A發生的方法數目
# A, x( X3 \' O4 s. eN：樣本空間的點數
" r1 f7 A& A$ |5 }0 R這個定義是機率的相對頻率，只有在樣本空間所有事件的歷史資料均具備的情
況才能使用。
ex:擲一個骰子出現點數為單數的機率
& F0 ~& U9 z) t假如事件A為擲一個骰子出現點數為單數，則
2 {0 k" J) C. N8 q樣本空間S={1,2,3,4,5,6}，事件A={1,3,5}
P(A) =  =
4 z! `+ e9 H8 m, w& K. d單純事件與複合事件(simple event and compound event)
5 x! J, x; `: ?9 k* y. M單純事件：無法再分解的事件
7 s6 o7 H* |5 X複合事件：由2個以上的單純事件所組成的事件
6 s, F( y. P1 q8 ~% L* |, ~8 f: oex:檢驗從裝配線取得的2個電路版，檢查是否合格，試問何者是單純
事件？計算出至少有一個電路板合格的機率。
# T% U- \( g7 Nsol:
8 U: e" C  r' m9 Y8 @5 l, A：第一個電路板合格的事件
4 @, o, U! C( z5 P$ G( x  {：第二個電路板合格的事件
3 B( t+ v8 U$ I3 R. q3 W  Z5 C：第一個電路板不合格的事件
：第二個電路板不合格的事件
樣本空間S由四個簡單事件所組成
( {7 |) y$ m: T1 C% lS = { , , , }
, w% N& z8 ]9 Z+ p* ?- e# V各事件可以描述如下：
={ , }：第一與第二個電路板均合格的事件
$ H' L5 y7 }: A& Q& ~6 A( q={ , }：第一個電路板合格但第二個不合格的事件
={ , }：第一個電路板不合格但第二個合格的事件
={ , }：第一與第二個電路板均不合格的事件
/ S3 P+ H. k$ Q( p  @) W7 |如果事件B代表至少有一個電路板是合格的則B ={ , , }，假
: m: g' J4 S  w設每個事件發生的機率皆相同，

8 z0 E& G2 I: U7 }
4 B( j3 B9 Z9 `
9 F4 O0 q5 [. U8 D加法律：P(A∪B) = P(A or B or both) = P(A) ＋ P(B) －P(A∩B)
乘法律：P(A∩B) = P(A and B) = P(A)P(B∣A) = P(B)P(A∣B)
% c& F( l1 J2 \# K% }# l條件機率
P(B∣A)表示給定事件A下，事件B發生的條件機率。如圖

獨立與互斥事件(independence and mutually exclusive event)
% u8 |: N. w. }1 Y! ?- d獨立(independence):A與B的結果相互不會影響稱A與B獨立，所以假如A與B獨
! `$ `% u9 U8 V6 b; J& E7 f立則P(B∣A) = P(B)或者P(A∣B) = P(A)，此時P(A∩B) = P(A)P(B)
互斥(mutually exclusive):A與B假如不能同時發生稱A與B為互斥事件，所以P(A
. p2 {) ^2 B0 ]$ p, P∩B) = 0，P(A∪B) = P(A) ＋ P(B)。因為如果A與B互斥，則兩者不能同時發生，
7 v. X: k# \3 C故A與B為相依事件。

例題：某鋼鐵公司生產鋼板，根據過去的經驗，有5%的鋼板長度不符合規格要求，有3%的鋼
1 Q8 L: Y4 \+ ^3 J7 ]) A板寬度不符合規格，假設長度與寬度的製程不相關，請問
a.生產符合長寬規格的鋼板的機率有多少？
b.鋼板的長或寬不符合規格的機率為何？
c.鋼板的長與寬皆不符合規格的機率為何？
d.假設鋼板的長與寬的製程並非獨立的，如果長度不符合規格會使切削寬度時的夾具位置不
正確，使的寬度有可能不符合規格，從經驗得知長度不符合規格時，寬度不符合給格的比例
是60%，請找出長寬同時都不合格的鋼板比例。
e.在(a)中A與B是否互斥？
f.請描述如果A與B事件為互斥的情況下的情形。
: @7 w7 T: ?6 c* O$ a3 ]4 X7 ]sol: 假設A表示長度符合規格的產出；B表示寬度符合規格的產出
a. 由題意知道P( ) = 0.05與P( ) = 0.03
P(A) = 1－ P( ) = 1 － 0.05 = 0.95
P(B) = 1－ P( ) = 1 － 0.03 = 0.97
P(產出的鋼板長寬均符合規格的機率) = P(A∩B) = P(A)P(B) = 0.95 * 0.97 = 0.9215
b. 鋼板的長或寬有一個不符合規格的機率 = P( or or both)，從加法律得知：
P( or or both) = P( )＋P( )－P( ∩ )
# G4 \) T7 b- d1 d. B/ n5 N; Z=0.05＋0.03－(0.05)(0.03)
, C1 }$ o# u' j$ e=0.0785
所以有7.85%的工件長寬之中有一個不符合規格要求。
c. 題意是要找出P( ∩ )，而P( ∩ )=(0.05)(0.03)=0.015
$ }. V  I' l, b# G% b1 \& e  C所以有0.15%的工件會不符合長與寬的規格。
/ J! G. _: n+ z7 Wd. P( ∩ )是此題的目的，而且由題意得知P( ∣ )=0.60從乘法律知道P( ∩
)= P( )P( ∣ )=(0.05)(0.6)=0.03
' a( B. i' x* x3 C9 n3 v" b4 z所以有3%的鋼板的長與寬都不合格。
% M0 n4 Z: v9 S6 H! Ze. 從(a)中得知 P(A) =0.95﹑P(B) =0.97﹑P(A∩B) = 0.9215，如果A與B互斥則 P(A∩B)應該等
: D5 d. V- W+ E9 R於0，但是實際上並非如此，所以A與B不是互斥事件。
3 {2 C0 |3 @& \. nf. 如果A與B事件為互斥則P(A∩B)=0，所以生產出的鋼板均不合格。

數據描述方法
[ 中央趨勢量| 分散度]
! T( e- M( J2 s" H
統計是一種收集﹑分類﹑分析與從資料中做出推論的科學，一般可將統計分為
敘述統計與推論統計。敘述統計是從收集的資料中取得描述產品或製程特徵
量。而推論統計是利用抽樣所得的資訊對未知的製程參數做出結論。
: l/ R( `4 D+ l: R; ]7 |在此首先要介紹的是敘述統計，主要內容有：
8 U' o; ]) z, \& Y- J5 ]1. 中央趨勢量的量測
# B  z/ X$ u8 ^2. 分散度的量測
中央趨勢量的量測
在SPC中，中央趨勢量的目的是指出資料所處的位置與集中的值，可以幫助我們
) @0 E& M# Q( [9 [決定是否要更改製程的設定。包括下列數個具代表性的值：平均數﹑中數﹑眾
5 S) U+ s6 U7 l; y( c& U數與截尾平均數。
a. 平均數(mean)：
- G8 L" R6 `4 p; D平均數在SPC中最常用來決定製程是否偏離目標值，樣本平均值以 表示，
, G% C$ t" `. T- a" U: y3 p$ d= 。母體平均數以 表示， = 。
例題a
& E& ^+ b$ J/ J* l! |4 P: o
! E& n* v  [& j+ Yb. 中位數(median)：位於所有數值的中央稱為中位數，如果數值有偶數個，則取中間兩
個數的平均值當中位數。中位數的意義在於有50%的值小於或等於中位數。
因為中位數比起平均數而言，較不會被極端值影響，故中位數比較穩健。
( G% u6 @: T/ d% @+ p! z, i
+ B( ~8 A& P& ?c. 眾數(mode)：出現次數最多的數稱為眾數
5 G, \; R: L" `& ^* |截尾平均數(trimmed mean)：截尾平均是取介於第一與第三四分位數中所有值的平均，
比起平均數，截尾平均數較不受特別大或特別小的值所影響。同時又不是只代表某個
出現頻率最高的值。
) a' M/ v- p* C8 ?. t1 H
, z" G) F  T  ^; f  s分散度的量測
分散度的量測提供資料變化分散的程度是SPC的基礎之一
1.Range:在一組資料中最大與最小的差
( u* u+ @/ u4 W( G; H/ P, R2 JR= Xc - Xs
0 p1 [: n- b2 @: ?/ z" B7 T( |↑ ↑
6 P, _4 h7 h3 K9 S3 o! C* e最大 最小
/ l! l0 T" s  T- \$ ?9 H8 ]6 `2.Variance 變異數:是測量觀測值均值變動的情形
3.標準差
% }- W% Q9 }% I
, r& i8 c9 @# ?3 |% c! q9 q8 \8 J. oEX_a：隨機測量銀行顧客等待服務的時間分別為3, 2, 4, 1, 2分鐘。
# d( X" K% O1 H: f$ f樣本平均或平均等待時間： = 分鐘

* Z% F6 L7 k' K+ C: t( D& a2 hEX_b：隨機抽取十個活塞的直徑(公釐)分別如下：52.3, 51.9, 52.6, 52.4, 52.4, 52.1, 52.3, 52.0, 52.5,
; @+ ?9 |% f  Q# L52.5，請問中位數為多少？
sol:將測量值排序後如下： 51.9, 52.0, 52.1, 52.3, 52.3, 52.4, 52.4, 52.5, 52.5, 所以中央兩個值分別為5
與52.4，兩個值的平均數是(52.3+52.4)/2=52.35
2 U8 I6 p9 i3 B
, c* Z- _2 _2 h
EX_c：某個建材行要決定該儲存何種尺寸的圓形鋸以因應顧客隨時的需求，隨機從歷史銷售資料
取30個樣本如下：
由下圖可知眾數是120，所以直徑120的圓形鋸優先考慮要儲存。
* E9 l: x0 ~" l3 N80 120 100 100 150 120 80 150 120 8
120 100 120 150 80 120 100 120 80 1
' A" i. ?1 d1 E0 a2 y" U100 120 120 150 120 100 120 120 100
/ [) S4 r' b. G3 D6 E
* n  p2 Q- e" X. e2 p$ U機率分配
7 t+ ~2 |% v1 b3 U7 ^6 y[超幾何分配 | 二項分配 |卜瓦松分配 |常態分配 | 常用分配間之關係]

機率分配(Probability Distribution)
機率分配是一個數學模式，用以描述一個隨機變數（X）所有可能值出現之機率。機率分配
可分為連續和不連續兩種。
a. 連續分配
若一變數使以連續尺度來量測，則其機分配為連續。如產品之長寬高尺寸。隨機變數
X落在a、b兩數值所界定之區域的機率為
4 i3 y6 l# y5 L2 V8 |4 Bb. 不連續分配
若變數只能為某些特定值，則稱其機率分配為不連續或離散。如顧客數目。隨
機變數X等於某特定值 之機率為
$ ~" \/ V6 m) [2 _7 `/ i7 KP{X= }=p( )
1 L: U5 E4 z" D6 j
' g4 w0 H1 Y  N. Y+ ]

超幾何分配
從有限群體中，隨機抽取樣本而不放回時，需要採用超幾何（Hypergeometric）機率分配。
1. 定義
如果一批產品共有N件，其中r件不良，其餘N－r件為良品，現自該批產品中隨
機抽取n（n≦N）件產品，則其中有x件不良品之機率為
: y" e# h3 |, Y3 T


: R1 z+ U0 V. n: P0 ?) T若不連續隨機變數x具有上式之機率分配時，稱為超幾何分配（Hypergeometric
Distribution）
9 r- t0 k; F: w$ K7 q" L% @
+ y+ h+ J) _% U: x6 b' [

二項分配
1. 定義：假設X為不連續隨機變數，若其機率分配為
( Y; t7 A2 D" }/ O& R，x ＝ 0,1,2,…,n ，0＜p＜1
& |  \" s4 \- n5 Of(x)＝0， x＝其他數
6 }3 P; E; G/ d! H則稱Ｘ具有二項分配(Binomial Distribution)一個隨機試驗，其結果可分為兩個互斥事件A和B(如成功與失敗、正面與反面
等)，若發生A事件之機率為p，而發生事件B之機率為1－p，將該隨機試驗重複
試行n次，其中事件A出現x次，則此隨機變數X餒具有二項分配，其計算方式如
: j# H2 i; i! ?: o( l下：
0 Z6 [9 \: d/ ^5 b# ^假設在n次實驗中，最初x次全出現A事件，其餘(1－p)次全為B事件，如上圖，
2 y# g" E- K5 [& u: z此情況之機率為 然而此種組合共有 次，所以其機率為
( e: s5 i0 \- F* n# h  `* ^。
# D& }5 I3 \. w超幾何分配用於群體之批量有限個數，而且其取樣的方法是取出不放回。下列
三種情形應該採用二項分配：
1. 群體批量為無限多。
' e% _9 Q. U  J, [: l* \. @1 N! k2. 群體之批量為有限數，但取樣方法為取出放回。
2 V7 r& H8 t/ Y: s3. 群體之批量為有限數，因相當多，點算不便，且N＞10n。
2. 二項式的展開

/ {8 V% \6 \, y& y. D
  m5 d# {; v$ f) c" w
, n0 d0 M" T& ~% e. Op：A事件發生的機率(例如，一個不良率)
. v4 N/ R7 G; J7 g  L* ~q＝1－p：B事件發生的機率
n：試驗次數或樣本大小
* I/ H2 g" D" Q! J/ \8 hA與B為互斥事件
$ S) M3 B& C8 L7 C$ ]7 S, V7 h. S3. 二項分配之平均數與變異數
( t- [3 A/ f$ L$ B. y: L" {0 [! g平均數： ＝E(X)＝np
變異數： ＝V(X)＝np(1－q)＝npq
p：群體不良率
- z% \/ u- Z; H0 }q：1－p

' K) J' o( \  B6 }/ e1. 定義：如果x為不連續的隨機變數，具有機率分配

, y9 g2 N5 f; T, ?( ?, C7 Z
) J0 Y2 G$ |& k' Y3 t則稱X具有卜瓦松分配(Poisson Distribution)。
* \4 h) @9 c* Q$ B5 |# i卜瓦松適用在樣本n很大，且不良率很小的場合。一般而言，可歸納下面三種情
形：
a. n ≧ 16
/ C# j  B; I: O, Zb. p ≦ 0.1
$ @+ E( P  W8 G8 V. ?& gc. N ≧ 10n
應用卜瓦松分配的實例很多，常見的有：
a. 單位時間內的觀察值。例如便利商店每小時的顧客人數、每天機器故障台數
等。
; H( }1 j: ~0 nb. 每一單位數量內的觀察值。例如每平方公分內缺點數、一批產品上的缺點數
' n3 C! B: D9 U4 X1 d等。
2. 卜瓦松分配的平均數與變異數
平均數：μ＝E(X)＝C
: W# j8 T+ j' a. ~9 S( l- R2 @變異數： ＝V(X)＝C
卜瓦松分配的平均數與變異數是計算缺點數管制圖之主要依據。若群體情況未
知，則以平均缺點數代替之。
: E5 y1 L' F% e1 B1 b/ n
常態分配
1. 定義：連續隨機變數X具有機率密度函數
) H. d$ p/ f& R; c9 I－∞＜x＜∞， σ＞0， －∞＜μ＜∞μ
則稱X具有常態分配(Normal Distribution)，通常以N(μ, )表示。
2. 常態分配之特性
; Y2 |* b) G, g: S9 [1 P# l9 _# b0 Ja. 自然界絕大部分現象之分配均屬常態分配，如身高、體重、品質特性觀察
( W& X# E4 C/ R值等
/ h. Z1 E- W$ gb. 隨機變數x為連續變數，其定義域範圍介於。－∞與∞之間。
- X" m( W( [! J" I3 H  qc. 有兩個反曲點，在μ±σ處。
% W: X9 H, Z& m/ Y: S  F, h' Rd. 為一單峰對稱分配，呈鐘型，以平均數為中心左右對稱。
e. 常態分配的形狀決定於兩個母數，即平均數μ與標準σ。如圖下
f. 曲線與X軸之間的面積總和等於1。



/ a7 ^( [" X8 I" E. T7 h, b% |# y3. 標準常態分配
為使常態分配的計算簡化，可以經由下面這個公式將所有的常態分配轉換成標準常態
$ c% l$ e' ]1 r8 E% P* l$ X分配(μ=0,σ=1)：
經過轉換的標準常態分配機率值可以查表得知。。而其機率函數如下：
* p9 y+ U0 d& d1 ~! ?4 }5 M! n7 D， －∞＜z＜∞
由標準常態曲線，可以進一步求得±3之間的面積為0.9973，±2之間的面積為0.9544，±1
' b1 H2 Q& ]+ k3 L5 ~! \, q- _之間的機率為0.6828，如圖所示，其中μ=0,σ=1。
9 b6 ~( s, g5 e2 u


6 }; {6 R$ D5 \! ~! B4. 中央極限定理(Central Limit Theorem)
中央極限定理應用於品質管制上，非常重要，因為從某一群體中，抽取n個樣本，其
品質特性之觀測值分別為X1, X2, …, Xn，平均數與變異數分別為 與 ，則令Ｙ﹦
。
當n→∞時，f(Y)為常態分配。
因為一般產品的品質特性值，很難得知屬於何種分配，但是，從中央極限定理得知，
: M8 A4 G# ^4 X8 ^" |; ?; o在未知群體分配時，只要抽樣的樣本n夠大，其平均數之隨機變數近似於常態分配，
5 ^* M$ i& r. U5 K7 K# J此定理提供了品質管制中的抽樣理論之學理根據。

常用分配間之關係
1 J7 W0 r  n- D7 N6 z超幾何分配、二項分配、卜瓦松分配與常態分配之間關係可以用下表簡單說
5 }% \9 C# x8 f" P2 g# A  R明：
條 件 實 例 可用之近似值計算
. x# G3 |/ h2 x1 hN＞10n 批量為樣本數的10倍以上時 超幾何分配→二項分配
6 O% [3 O& e7 n/ b: fp≦0.10
np＞5
不良率在10%以下，n很大，但
& m- y( e! f$ C/ X不良數不超過5個時
二項分配→卜瓦松分配
) Y& u) g7 j8 g" k! a' ?5 `# Cp＜0.50
np＞5
不良率在50%以下，n很大，但
不良數在5個以上時
; h+ b1 ^! y% o1 C1 ~  [3 R- A0 `二項分配→常態分配
np＞10 樣本數很大，不良數有10個以
上時
卜瓦松分配→常態分配
, R* p8 Y6 b6 l+ u( L
抽樣分配
- k7 V) g- y; `1 b) e: H[ 統計量之抽樣分配| 定義於常態分配下之抽樣分配 ]
* |' q) x7 }  X/ |' g& O4 E
" g- K$ u9 y6 x統計量之抽樣分配
% Q) b- z! h( t4 [. |+ e# K' B/ ?' f( J在研究宇宙間的現象時，由於人力或財力所限，無法對整個群體觀察研究，致使
" i- O/ d! _/ I. T+ s無法獲知群體所蘊藏的某種特性，但若能依據某種法則由群體中抽取樣本，即可
8 L+ M1 V  L+ r! W( W由樣本去推測群體之特性或相互關係。
8 k' N! [4 F9 X- a
* Q9 i9 e; E+ g$ `, F( n* g
0 o7 v- s) B( x, m: ^% Q( k
1. 樣本平均數（ ）之抽樣分配
3 i/ h" K+ m+ n8 E) s假設X為平均數E(X)＝ 及變異數V(X)＝ 之隨機變數， 為大小等於n之樣本平均
數，則
3 U+ P* M- h$ {" X
: H4 _( m' T2 q" z7 g

5 T$ F: a" x* u8 S% e5 i+ [  S+ X
! }6 b( D* F- ~  O3 N
∴不論群體為何種分配，若由群體中抽取大小為n之樣本，樣本平均數分配之平均數等
於群體的平均數，而樣本平均數之變異數等於群體變異數除以樣本大小之商。



例16：X是常態分配N(30，9)，假如從X中隨機抽取大小為5之樣本，使樣本平均數
" R3 G/ Z3 |6 k- v構成一抽樣分配，則其平均數與變異數分別為多少？
Sol：E( )＝ ＝30
; D% j6 |6 S2 Q0 @) G- z& L  ^V( )＝ ＝1.8

' |% a: @0 j* i* X
5 Y+ [% o9 f' A9 }1 R


各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
  C9 x3 e* d+ j' \2 }( |
3. 樣本標準差（S）之抽樣分配



% i) d8 z+ W! v各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配不是一個常態分配。
- Y% c2 p& ?3 T' w" m' ]8 |$ U  t
4. 樣本變異數（ ）之抽樣分配
/ {- D2 ^; Z, u9 N+ K& X( YM 　 M
& E1 T4 m& V4 E- j: Y! @k X1, X2,……,Xn Rk
2 r! B9 a8 s0 n5 b5 D5 S　  組號 數 據 樣本標準
差
- }7 _& L3 N+ s1 X1, X2,……,Xn S1
4 q+ ^* i5 @' U* ^( x; r/ L2 X1, X2,……,Xn S2
M 　 M
M 　 M
k X1, X2,……,Xn Sk

E( S)＝
$ C) Q+ m+ i! \, Q各樣本全距抽樣分配之平均數為 ，標準差為 。但此分配
/ [& i2 e& p% _不是一個常態分配。
9 |) A7 f3 S7 {/ \; P
9 p& O: w( a, P5 k% l- d6 J6 A
定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
% E7 ?: y0 N/ x- I9 S抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
+ ^$ D. H% A' R7 U: o" P- _* [括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
　  組號 數 據 樣本變異
9 q: B, O7 U: ^) K& V數
% U' D! _2 [3 h7 q. m

0 \9 d: i/ x$ M9 B# o* W
& c8 w! }, b* n6 U& i' C8 Z
: Z$ T6 x0 c" K- d% q$ O定義於常態分配之抽樣分配
假設X為具有平均數μ和變異數 之常態分配。若 為樣本數n之
隨機樣本，則樣本平均數 將會符合 之分配。另外，根據中央及
- a" D* I' N$ H限定裡可知，即使母體不為常態分配，當樣本數n逐漸增大時，樣本平均數 之
3 I: M% w- |0 Q6 \& M& M* ]抽樣分配將會趨近於常態分配。以下將介紹數種定義於常態分配之抽樣分配，包
' y) s" \4 C/ ?+ m1 k9 X括卡方分配( distribution)、t分配和F分配。
卡方分配
- K; H/ r  U& m& K9 s; w假設n個獨立之常態隨機變數 ，其平均數分別為 ，
* d7 L2 ~: d# A7 W  g. E　  組號 數 據 樣本變異
數
3 N- _% z" U0 i% G
1 X1, X2,……,Xn
- U8 g# K' ?3 z% W2 X1, X2,……,Xn
2 x# ?" p: b8 x- x& W/ C) g( ^M 　 M
M 　 M
3 \% ?/ ^  X! K. Wk X1, X2,……,Xn
變異數為 。

0 Z/ ^! o& E% h3 X$ |! B$ `
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